articolazione:

• necessità di un inquadramento didattico per le ipotesi
• una definizione di ipotesi per la didattica
• vari tipi di ipotesi
• dimensione sociale del gioco delle ipotesi
• gioco delle ipotesi e campi di esperienza
• qualche routine didattica per il gioco delle ipotesi

NECESSITA' DI UN INQUADRAMENTO DIDATTICO PER LE IPOTESI

Nel corso delle attività matematiche e scientifiche nella scuola elementare e nella scuola media l'insegnante chiede a volte di produrre una ipotesi, dove la parola ipotesi ha l'accezione di "Congettura o supposizione che tende a spiegare fatti o fenomeni di cui non si ha perfetta conoscenza" (Zingarelli), vicina al significato con cui la parola "ipotesi" è utilizzata nell'Arenaria di Archimede (e nelle scienze moderne), e diversa invece dall'accezione relativa ai teoremi: "affermazione che si suppone vera e dalla quale si ricava la tesi" (Zingarelli) che risale a Platone e ad Aristotele.

Le definizioni riportate sui dizionari non risultano funzionali allo scopo di sviluppare attività didattiche (e analisi dei loro risultati) per quanto riguarda le ipotesi del primo tipo; infatti esse non consentono:

- di individuare la specificità delle situazioni didattiche nelle quali l'insegnante richiede la produzione di una ipotesi (come risposta a una domanda dell'insegnante );

- di precisare la natura delle domande che sono adatte per sollecitare la produzione di ipotesi da parte degli alunni;

- di valutare i prodotti degli alunni che rispondono all'insegnante, distinguendo le vere ipotesi tra le risposte che essi forniscono;

- di precisare le condizioni sotto le quali la maggior parte degli alunni può produrre delle vere ipotesi ;

- di orientare lo studio e la modellizzazione del processo di produzione delle ipotesi .

Queste osservazioni suggeriscono che è necessario effettuare un trattamento specifico dell'ipotesi come oggetto pertinente alla didattica.

Tale necessità è evidentemente maggiore se si fa riferimento a metodologie didattiche che sollecitano lo sforzo costruttivo degli alunni nei confronti del sapere e se si ritiene che la produzione e la gestione delle ipotesi costituiscano un passaggio obbligato per la crescita e l'autonomia intellettuale degli alunni.

UNA DEFINIZIONE DI IPOTESI PER LA DIDATTICA

Enrica Ferrero ha avviato nel 1991 un programma di ricerca didattica sulle ipotesi in campo matematico e scientifico che via via si è articolato nei seguenti punti:

(a) indagine sulle specificità della domanda (che dovrebbe sollecitare la produzione di una ipotesi);

(b) indagine sulla specificità della risposta-ipotesi, e produzione di una definizione generale;

(c) indagine sul processo di produzione della risposta-ipotesi.

La ricerca sui punti a) e b) è per ora conclusa, mentre è ancora in corso su c).

a: specificità della domanda

La specificità della domanda consiste in una formulazione linguistica appropriata e in una intenzione (=attesa di risposta) legata alla situazione.

Una domanda formulata in questo modo: "ripeti la definizione di..." non è evidentemente appropriata. D'altra parte, l'insegnante che chiede (a degli studenti di Liceo) di generalizzare la proprietà (oggetto di attività nell'ora precedente) secondo la quale la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4 pone una domanda suscettibile di provocare la produzione di una ipotesi; questo non avverrebbe se lo stesso insegnante chiedesse agli stessi alunni di determinare il risultato della moltiplicazione 235x37. Questo esempio suggerisce che una domanda di per sé appropriata non è sempre suscettibile di provocare la produzione di una ipotesi : la determinazione del risultato di 235x37 all'età di 8 anni (prima dell'insegnamento della tecnica di calcolo scritto della moltiplicazione) richiede da parte dell'alunno la produzione di una ipotesi (progettuale).

b: specificità della risposta

L'insegnante giudica soddisfacente una risposta se la formulazione linguistica e il processo di pensiero che si può intuire dietro il testo della risposta (inteso in senso ampio: parole, disegni, formule) sembrano appropriati:

- formulazione linguistica appropriata
alla domanda (in una III media): "Cosa si può dire del prodotto di due numeri irrazionali?" un alunno risponde: "non so"; si tratta di una constatazione di incapacità a formulare una ipotesi, non di una ipotesi. Un altro alunno risponde: "non l'ho ancora studiato"; si tratta di una risposta (che esprime la constatazione che la domanda non copre gli argomenti studiati) che non possiamo considerare una ipotesi. Un terzo alunno dice: "Forse, si tratta di un numero irrazionale, perché il prodotto di due numeri razionali è razionale, e anche il prodotto di due numeri pari è pari, e il prodotto di due numeri dispari è dispari...": in questo caso, la risposta "Forse, si tratta di un numero irrazionale " ha la forma linguistica di una ipotesi (sia pure matematicamente errata);

- processo di pensiero appropriato
(come sembra verificarsi nell'ultimo esempio): occorre che l'alunno operi una scelta motivata, secondo argomenti pertinenti, tra alternative possibili, da lui evocate o costruite; inoltre l'insegnante ritiene appropriato il processo di pensiero quando rileva che l'alunno accompagna la formulazione della risposta con la mancanza della certezza assoluta sulla validità della scelta effettuata. Questa mancanza di certezza sottolinea il carattere di percezione della provvisorietà e soggettività dell'ipotesi. In altri termini: una ipotesi cessa d'essere tale dopo il processo di verifica (ovviamente, se la verifica dà un risultato univoco); e la stessa frase può costituire una ipotesi per un soggetto, e una "conoscenza certa" per un altro.

E. Ferrero ha sintetizzato queste "specificità" in una definizione sintetica di ipotesi:

"Atto di linguaggio che comunica, in seguito ad una opportuna domanda, l'immagine di una realtà possibile, selezionata - secondo l'interrogante - all'interno di una gamma di possibilità di risposta; e, insieme, atto di pensiero che sottosta all'immaginazione e alla selezione di tale realtà possibile".

Si può notare il carattere soggettivo (da parte dell'insegnante) del giudizio sulla pertinenza dell'atto di pensiero alle condizioni fissate.

La portata di una definizione, nell'ambito delle scienze umane (e della didattica in particolare), si misura anche sulla base del chiarimento che consente di realizzare sulle condizioni di azione, dei fenomeni che mette in evidenza, dei problemi nuovi che vengono sollevati, della penetrazione che viene consentita dell'oggetto definito.

Nel gruppo di ricerca genovese che si occupa di didattica della matematica e delle scienze nella scuola dell'obbligo, la definizione ha permesso:

- di aiutare gli insegnanti a formulare delle "consegne" più appropriate e ad individuare le condizioni necessarie affinché gli alunni possano produrre delle vere ipotesi; in particolare, dato che l'ipotesi riguarda una scelta motivata occorre che gli alunni (o la maggioranza di essi) siano in condizione di poter scegliere e motivare;

- di classificare i prodotti degli alunni a seguito di una richiesta di "produzione di ipotesi" (dalla risposta non pertinente, alla risposta che probabilmente non è frutto di una selezione operata tra "possibilità", alla risposta certa, all'ipotesi vera, prodotta in condizioni di incertezza e ben argomentata);

- di organizzare (a lungo termine) il lavoro nella classe in modo tale che gli alunni possano passare progressivamente dalle "opinioni' (senza scelta cosciente e argomentata, e senza attesa di verifica) tipiche dei 6 anni, alle "ipotesi" ben argomentate.

VARI TIPI DI IPOTESI

La definizione di ipotesi copre una vasta gamma di risposte a richieste dell'insegnante:

- ipotesi previsionali: a 13-14 anni, nel quadro di una attività di modellizzazione matematica dell'allungamento delle molle (vedi unità di lavoro A del progetto "Dimostrazioni e modelli"), l'insegnante domanda: "Cosa potete dire a proposito dell'allungamento di una molla dello stesso materiale e della stessa sezione, ma di lunghezza doppia, della molla di cui abbiamo scritto la formula e tracciato il grafico?". Una risposta - ipotesi previsionale è la seguente: "Io penso che la molla di lunghezza doppia si allunghi di meno perchè il peso si distribuisce su una lunghezza maggiore e questo esclude che l'allungamento possa essere maggiore; d'altra parte, non è possibile che l'allungamento sia lo stesso, perchè la situazione è cambiata".

- ipotesi interpretative: sempre con riferimento all'attività precedente, dopo la formulazione delle ipotesi sulla molla di lunghezza doppia si effettua l'esperimento e si trova che, con buona approssimazione, l'allungamento è doppio. L'insegnante domanda: "Perché, secondo voi, è doppio?". Una risposta-ipotesi interpretativa è la seguente: "Se immagino che ciascuna spira della molla sostenga lo stesso peso, e quindi si allunghi della stessa lunghezza, l'allungamento totale deve essere doppio, poiché il numero delle spire è doppio; ma non sono sicuro che ogni spira sostenga lo stesso peso! D'altra parte, abbiamo visto che l'allungamento è grosso modo doppio, quindi una ragione deve esistere. La ragione precedente mi sembra ragionevole, ma non sarei capace di provarla!"

- ipotesi giustificative, in particolare: dimostrazioni di enunciati matematici. Notiamo che, quanto riguarda le matematiche di oggi, la vicenda — negli anni ’90 - della dimostrazione del cosiddetto "ultimo teorema di Fermat, contestata e poi modificata attraverso un confronto vivace che ha coinvolto matematici di vari Paesi per parecchi mesi, mostra bene il carattere (transitorio) di "ipotesi" di una dimostrazione matematica;

- ipotesi progettuali: come quelle prodotte a 10 anni a seguito della richiesta di scrivere il progetto per la costruzione, con la squadra e la riga, di un quadrato di lato assegnato su un foglio bianco. Vedi anche il successivo progetto di suddivisione di una somma di denaro;

- ipotesi euristiche: in III elementare, affrontando il problema di suddividere 52000 lire tra 23 alunni, un alunno scrive: "se ciascuno prendesse 1000 lire, sarebbero 23000 lire in tutto...troppo poco; se ciascuno prendesse 2000 lire, sarebbero 46000 lire in tutto, ancora troppo poco; se ognuno prendesse 3000 lire, sarebbero 69000 lire, troppo! Quindi, bisogna scegliere un importo tra 2000 e 3000 lire... ecc . In questa "ipotesi di risoluzione" complessa ("ipotesi-progetto"), le scelte parziali ("1000 lire", "2000 lire", "3000 lire") svolgono la funzione di produrre (attraverso la verifica) delle conoscenze sulla soluzione cercata e di guidare i passi successivi. Si tratta di ipotesi che possiamo legittimamente chiamare "euristiche".

......(ecc.).........

Frequentemente, una ipotesi di un tipo consiste nella composizione di ipotesi di altri tipi (come si è visto nell'ultimo esempio), e le ipotesi-componenti si configurano di solito come risposte a domande auto-poste .

DIMENSIONE SOCIALE DEL "GIOCO DELLE IPOTESI"

La definizione di ipotesi da noi presentata riguarda un oggetto che ha una intrinseca dimensione sociale ("risposta a una domanda").

La definizione si inserisce naturalmente in un quadro teorico che ammette la possibilità di una costruzione sociale del sapere matematico secondo la metafora della "Zona di sviluppo prossimale" e il meccanismo dell'interiorizzazione (in senso forte, come interiorizzazione di forme di pensiero prima realizzate a livello interpersonale) di Vygotskij.

In proposito, abbiamo studiato questi aspetti

- interiorizzazione del meccanismo della domanda: il gioco linguistico (nel senso di Wittgenstein) "domanda-risposta", che si gioca al livello inter-personale tra l'insegnante e l'alunno, è suscettibile di diventare gioco intra-personale per l'alunno che, in situazioni di produzione di ipotesi complesse, gradualmente comincia a porsi delle domande e a dare loro delle risposte-ipotesi.

Abbiamo osservato delle tracce esplicite interessanti (sotto forma di dialogo interno) di interiorizzazione di questo tipo nel caso di "problemi costruiti all'interno delle situazioni problematiche";

- interiorizzazione del gioco delle ipotesi euristiche, prodotte e verificate a livello inter-personale tra gli alunni che cercano di risolvere collettivamente un problema complesso (ad esempio, a 8 anni, il problema di suddividere 52000 lire tra i 23 alunni della classe, ben prima che sia insegnata la tecnica di calcolo scritto della divisione - vedi esempio già citato in precedenza);

- interiorizzazione del gesto, nelle situazioni di modellizzazione geometrica del fenomeno delle ombre del sole: il gesto visto - gli alunni della classe che indicano il sole e il suo movimento con il braccio- diventa gesto immaginato, che sostiene, nello spazio visivo interno, la produzione dell'ipotesi conseguente alla consegna (in IV): "cos'è e come si può misurare l'altezza del sole sull'orizzonte?" — confronta unità di lavoro D del Progetto "Dimostrazioni e modelli"

- interiorizzazione dei "copioni" linguistici che riguardano l'argomentazione dell'ipotesi; questa interiorizzazione, di cui abbiamo registrato tracce significative, è favorita (nelle nostre classi) da scelte didattiche che prevedono la verbalizzazione scritta sistematica dei processi di pensiero, con un contratto didattico che - se possibile- riguarda tutte le materie e che a poco a poco conduce gli alunni a esplicitare non solo i loro modi di risolvere un problema, ma anche le loro riflessioni sul processo risolutivo (vedi l'esempio già fatto a proposito dell'interpretazione dell'allungamento doppio della molla di lunghezza doppia);

- interiorizzazione di certe dinamiche mentali che si manifestano a livello inter-personale soprattutto nella costruzione collettiva di ipotesi interpretative: durante la discussione, seguire, e contestare, il discorso di un altro, che guarda le cose (con gli occhi, o metaforicamente) da un altro punto di vista, appare importante per imparare a "cambiare punto di vista" nel proprio discorso.

"GIOCO DELLE IPOTESI" E CAMPI DI ESPERIENZA

In classe, le attività legate alla produzione di una ipotesi si sviluppano in condizioni molto favorevoli se l'ipotesi riguarda un campo di esperienza ampiamente esperito dagli alunni, con un contesto esterno ricco e molti punti di contatto tra i contesti interni degli alunni e il contesto interno dell'insegnante.

In effetti, in una situazione del genere "ci si capisce" nell'interpretazione delle consegne e nelle discussioni; e il contesto esterno offre molti punti di riferimento per le scelte, le argomentazioni e le verifiche (argomentative o sperimentali) delle ipotesi prodotte dagli alunni.

A sua volta, il lavoro di produzione delle ipotesi e di gestione delle ipotesi prodotte accresce progressivamente (via via che il gioco delle ipotesi trasforma delle ipotesi in conoscenze) la padronanza culturale del campo di esperienza in un processo evolutivo caratterizzato dall'arricchimento del contesto esterno (oggetti, segni, ... presi via via in considerazione), del contesto interno dell'alunno e anche del contesto interno dell'insegnante (che via via si arricchisce di esperienze sui processi di pensiero e sulle concezioni degli alunni specifiche del campo di esperienza, come pure di nuove conoscenze sui fenomeni del campo di esperienza sollecitate dal lavoro con gli alunni e dalle loro domande).

Nella classe, l'insegnante è il responsabile del buon andamento del processo evolutivo ora descritto; egli esercita la sua responsabilità attraverso:

- la scelta delle consegne che provocano la produzione delle ipotesi;

- gli interventi che accompagnano la produzione individuale delle ipotesi (soprattutto durante la mediazione 1-1: mediazione diretta che si esercita sui segni, le conoscenze e le dinamiche mentali degli alunni );

- la gestione delle ipotesi prodotte (confronto tra le ipotesi, discussione collettiva: mediazione indiretta e, se necessario, diretta);

(per dettagli su questi due ultimi punti, vedi paragrafo successivo).

QUALCHE ROUTINE DIDATTICA PER IL "GIOCO DELLE IPOTESI"

In alcuni casi, è risultato utile dotarsi di "copioni" (flessibili!) di gestione del lavoro in classe, che tenessero conto della specificità delle ipotesi (secondo la definizione illustrata nel § 2) e degli elementi messi in evidenza nei paragrafi precedenti.

* Ipotesi previsionali nel campo della modellizzazione matematica: si parte con una attività di produzione individuale (se necessario, sostenuta dall'insegnante in interazione 1-1 attraverso un dialogo scritto o con la modalità del "maestro-scrivano" — vedi didattica del prestamano, che scrive sotto dettatura dell'alunno il testo concordato con lui).L'insegnante esamina i prodotti individuali degli alunni e sceglie dei testi rappresentativi dell'insieme delle ipotesi prodotte (con delle eventuali parafrasi per adattarli alle necessità del lavoro successivo); gli alunni confrontano poi individualmente (se necessario, con l'aiuto dell'insegnante) i loro testi personali con i testi scelti, identificando gli aspetti comuni e le differenze, che possono riguardare sia le scelte che le motivazioni delle scelte (qui la distinzione tra scelta espressa attraverso l'ipotesi formulata, e motivazione della scelta è fondamentale: ad esempio, due alunni possono aver fatto la stessa scelta, ma sostenuta da motivazioni diverse). Successivamente, l'insegnante organizza la discussione collettiva sulle ipotesi scelte; tale discussione può condurre ad una verifica "argomentativa" delle ipotesi, o preparare il terreno per una verifica "sperimentale" , o consentire un approccio graduale a una padronanza più completa ed argomentata degli elementi in gioco.

*Ipotesi interpretative (di una regolarità matematica o di un fenomeno non matematico): la routine è del tutto simile; l'unica differenza riguarda la verifica (a seconda dei casi, la verifica si può realizzare attraverso una "dimostrazione" matematica, o per esperienza diretta, o attraverso una argomentazione basata su fatti certi).

* Costruzione di problemi all'interno delle situazioni problematiche: l'insegnante pone un problema molto aperto ("i soldi che abbiamo nella cassa della classe sono sufficienti per l'organizzazione della festa della fine dell'anno scolastico?").

Gli alunni (in parte attraverso la discussione collettiva, in parte attraverso un lavoro personale - che l'insegnante può sostenere in interazione 1-1) devono mettersi d'accordo sulle caratteristiche che auspicano per la festa, formulare individualmente (e poi confrontare tra loro) delle proposte precise sui dati da reperire, produrre individualmente (e poi confrontare tra loro) un piano dei calcoli da effettuare sui dati di cui è prevista l'acquisizione, ecc.

* Produzione di un progetto verbale, ad esempio per una escursione di tre giorni (o per un'altra attività extra-curriculare) da effettuare, o per una attività matematica da realizzare nella classe (a 9 anni, costruzione di una figura geometrica di caratteristiche date con strumenti dati).

Nel primo caso, il percorso didattico è del tutto simile a quello descritto per l'esempio precedente.

Nel secondo caso, gli alunni formulano i loro progetti individuali; l'insegnante sceglie i progetti rappresentativi dell'insieme della classe; gli alunni confrontano individualmente (se necessario, con l'aiuto dell'insegnante) i loro testi personali con i testi scelti, identificando gli aspetti comuni e le differenze; a questo punto l'insegnante chiede di valutare la validità di un progetto tra quelli scelti (individualmente, e poi attraverso la discussione collettiva); se necessario, si arriva all'esecuzione del progetto seguendo il testo (verifica sperimentale dell'ipotesi progettuale); alla fine, l'insegnante può chiedere di scrivere individualmente le ragioni del fallimento del progetto, o di completare individualmente un progetto incompleto. Analogamente si procede per gli altri progetti scelti.

* risoluzione di problemi aritmetici standard (problemi verbali): alla risoluzione individuale (se necessario sostenuta dall'insegnante in interazione 1-1), segue il "confronto attivo" delle strategie degli alunni con le strategie scelte dall'insegnante (anche il "confronto attivo" delle strategie, che consiste nel realizzare la strategia del compagno in una situazione un po' diversa da quella originaria, può essere sostenuto dall'insegnante, se necessario, attraverso l'interazione 1-1); la discussione collettiva delle strategie scelte (con eventuali verifiche dirette sulla loro validità) può concludere l'attività.

Si può notare, nelle diverse routine descritte, la presenza di "costanti":

Al contrario, le modalità possibili di verifica delle ipotesi prodotte nella classe restano molto diverse a seconda dei tipi di ipotesi e delle circostanze:

- verifica sperimentale;

- verifica argomentativa;

- dimostrazione matematica;

- ricorso a fonti affidabili

......

Si può anche notare (vedi l'esempio della molla di lunghezza doppia) che la verifica sperimentale di una ipotesi previsionale può dare luogo alla formulazione di una ipotesi interpretativa; e che la verifica d'una ipotesi interpretativa può dare luogo alla formulazione di una ipotesi giustificativa (in certi casi, alla costruzione di una dimostrazione matematica). Si generano così catene di ipotesi di tipi diversi. Alle routine interne alla gestione di una ipotesi nella classe possono quindi aggiungersi delle macro-routine che riguardano il gioco delle ipotesi in un dato campo di esperienza. Ma in tutti i casi noi vorremmo insistere sul fatto che le routine (macro- o micro-) descritte in questo paragrafo rappresentano dei "copioni" di cui gli insegnanti tengono conto in modo molto libero in relazione con le risposte della classe, le potenzialità (spesso inattese) che si manifestano, ecc.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI: il testo precedente è desunto dall’articolo: Boero, P.; Ferrero, E.: 1995, 'Il gioco delle ipotesi nell'insegnamento-apprendimento della matematica nella scuola dell'obbligo: una ricerca in corso', L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 18A-18B.

Si rinvia a tale articolo per ulteriori approfondimenti.