ATTIVITA’ 2: FRAMMENTO DI DISCUSSIONE SULL’INFINITO

IL NOSTRO PUNTO DI VISTA

In termini logici, matematici (ed epistemologici): gli oggetti della discussione sono i seguenti:

- distinzione tra impossibilità "teorica" di contare tutti i numeri tra 0 e 10 e impossibilità "pratica";

- distinzione tra "infinito" in senso cardinale (che in classe sembra essere presente a livello di intuizione di "numerosità dell'insieme" — ne è portatrice anche in altre discussioni Valeria - ma non può evolvere per mancanza di conoscenza di una proprietà caratterizzante, come ad esempio l'equipotenza dell'insieme con una sua parte) e "infinito" in senso ordinale (impossibilità di trovare un ultimo elemento);

Dal punto di vista dell’analisi e della valutazione delle prestazioni degli allievi, la prospettiva muta parecchio a seconda della teoria di riferimento:

• secondo una visione piagetiana classica alcuni bambini sono alle soglie del (o hanno raggiunto il) pensiero formale, altri no;
• con riferimento al quadro teorico vygotskiano, questa discussione è un esempio interessante di costruzione sociale di aspetti del "concetto scientifico" di numero e del "concetto scientifico" di infinito (grazie alle operazioni di analisi consapevole dei significati delle parole in gioco e di collegamento intenzionale dei due concetti tra loro e grazie agli effetti della discussione nelle "zone di sviluppo prossimali" di alunni come Dan);
• l’abitudine alla discussione collettiva (e gli effetti di tale abitudine sul comportamento dei bambini) sono evidenti nel modo in cui i bambini prestano attenzione a quanto dicono i compagni, utilizzano consapevolmente i loro "argomenti" per portare avanti le loro argomentazioni personali, chiedono aiuto ai compagni per dare forma espressiva più precisa alle loro intuizioni, coscienti che così si va avanti sulla via della conoscenza. Il ruolo di "regia" dell’insegnante è evidente nell’intervento N. 6 — "rispecchiamento" (per il resto in questo frammento la discussione vive autonomamente attraverso i contributi degli alunni).

C’è tuttavia anche la necessità di andare oltre queste teorie "classiche" e cogliere (in una prospettiva genetica) la filiazione dell'intuizione di "infinito ordinale" attraverso una de-temporalizzazione (in parte consapevole! — vedi interventi N. 5 e 11) e contrazione del processo di conta che si traduce nella costruzione della proprietà caratterizzante l'"infinito ordinale" ("non esiste l'ultimo") (vedi ricerche di A. Sfard sulla genesi degli "oggetti" matematici a partire dai "processi") .

• restano da interpretare i blocchi di certi alunni registrati durante la discussione (vedi ad esempio Mara, intervento N. 16 e interventi successivi non riportati): possiamo identificarli in blocchi di origine socio-culturale (del tipo di quelli estesamente registrati da Luria negli anni ’30 nelle regioni asiatiche dell'URSS -vedi il capitolo sul sillogismo nel libro "Storia sociale dei processi cognitivi", edito da Giunti Barbera nel 1976)? Oppure in blocchi dovuti alla distanza dal "pensiero formale"?

Per quanto riguarda la prosecuzione dell’attività, l’insegnante ha presenti i seguenti due obiettivi:

• consentire a tutti gli alunni di comprendere la differenza tra "non si possono contare" per ragioni pratiche, e "non esiste ultimo elemento";
• pervenire ad una istituzionalizzazione del sapere costruito attraverso la discussione.

In relazione a tali finalità l’insegnante (dopo l’intervento 16) propone (rivolta a chi è convinto della sua validità) di trovare modi diversi per chiarire bene questa idea che "non c’è ultimo elemento" per i numeri decimali tra 0 e 10 che sono più piccoli di 10.

I bambini producono diversi discorsi-mediatori:

• con la successione 9,9; 9,99; 9,999; 9,9999; 9,99999; e le parole "non c’è ultimo elemento perché dopo la virgola ci metto quanti 9 voglio, e quello lì non è l’ultimo elemento, perché posso ancora aggiungere un 9 a destra, e viene un altro numero un po’ più grande ma più piccolo di 10"

con l’analisi critica dell’affermazione "non si possono contare" e il riferimento all’infinità dei naturali: "non si possono contare può voler dire che sono troppi per poterli contare veramente, perché ci vorrebbe troppo tempo; però possiamo pensare all’ultimo elemento. Ad esempio pensa di contare tutti i millimetri sul metro: dopo un po’ di tempo arrivi all’ultimo millimetro, al millesimo millimetro. Ma se dovessi contare i micron che sono mille in un millimetro... dovresti contare fino a un miliardo, e non ce la faresti! Eppure c’è ultimo elemento che è il miliardesimo micron. Invece infiniti vuol dire che non c’è ultimo elemento. Come quando pensi ai numeri naturali e non puoi arrivare in fondo, a un ultimo elemento".