ATTIVITA’ 2: FRAMMENTO DI DISCUSSIONE SULL’INFINITO

FONTE: siamo all’inizio del II quadrimestre della II media, in una classe di 22 alunni della provincia di Imperia (impiegati di basso livello, lavoratori agricoli immigrati dal Sud, lavoratori stagionali nel turismo; percentuale media di disoccupazione). La classe pratica la discussione collettiva dall’inizio dell’anno scolastico precedente.

In campo aritmetico sono state svolte attività sulla scrittura decimale-posizionale dei numeri interi e decimali, sulla conversione frazioni/numeri decimali e viceversa, sul calcolo aritmetico con le frazioni e con i numeri decimali; non è stato ancora svolto il teorema di Pitagora, nè introdotta la radice quadrata. Alcune settimane prima si è già brevemente lavorato su "quanti numeri ci sono tra 2 e 5", con produzione individuale di ipotesi e poi discussione di tre ipotesi in un'ora di tempo; la discussione aveva messo in evidenza che "non li possiamo contare tutti", e aveva anche evidenziato questi tipi di numeri: i naturali, i "decimali finiti" della calcolatrice, i "decimali finiti", i periodici. Gli alunni si erano appropriati, nel corso della discussione, del termine "cifra", poi ripreso in altre circostanze. Qualche volta avevano già ascoltato e usato il termine "infinito", senza rifletterci su. L’insegnante intende approfondire la riflessione sui numeri (su "quanti e quali sono"), in vista dell’approccio ai numeri irrazionali collegata al Teorema di Pitagora e alle radici quadrate.

Consegna individuale: "Quanti e quali sono i numeri tra 0 e 10?"

11 alunni producono risposte esaurienti, dicendo che sono "infiniti" (o "non si possono contare") e descrivendo almeno tre tipi di numeri

(esempio: VALERIA: "I numeri tra 0 e 10 non si possono contare; tra i numeri ci sono i numeri interi, come 2, 3 e 4; i numeri decimali, come 2,5, ma i numeri decimali li possiamo ancora dividere tra quelli periodici, come 0,333333... che è anche la frazione 1/3, e quelli non periodici, come 0,5 che è la frazione 1/2");

2 alunni rispondono "dieci" oppure "undici" ed elencano i naturali;

4 alunni rispondono "infiniti" (o "non si possono contare") e descrivono solo due tipi di numeri (quelli "senza virgola" e quelli "con virgola", o quelli interi e le "frazioni proprie");

5 alunni rispondono "infiniti" (o "non si possono contare") e fanno solo qualche esempio di due tipi diversi, senza alcun commento (con risposte del tipo: "2; 3; 4; 0,25")

L'insegnante sceglie tre risposte, una del primo tipo (Valeria), una del terzo e una del quarto, e le distribuisce fotocopiate e chiede agli alunni (come compito individuale) di individuare analogie e differenze tra la loro risposta e quelle proposte. Durante questa attività individuale Robi si rivolge all’insegnante e dice che ha ragionato come Valeria, ma non proprio uguale:

"Perché io ho risposto che sono infiniti. E' diverso, che non si possono contare, e che sono infiniti. Se non si possono contare... Che mica che quelli della calcolatrice li posso contare, ma se avessi tempo ... anni... li potrei contare tutti! Mentre quelli tra 0 e 10 proprio non li posso contare, nemmeno in 1000 anni, perché..." (Ins.: perché?) "... perché se sono arrivato in fondo... non posso arrivare in fondo... ce ne sono sempre altri"

L’insegnante decide di cogliere l’occasione di quanto ha detto Robi per mettere in discussione i significati delle espressioni "sono infiniti" e "non si possono contare".

(FRAMMENTO INIZIALE DELLA DISCUSSIONE)

  1. (Insegnante: chiede a Robi di ripetere a tutti il suo discorso "privato", e con lui arriva a questa formulazione che viene scritta alla lavagna: "Infinito" vuol dire che non si possono contare perché non si arriva in fondo; "non si possono contare" può voler dire anche che sono troppi per poterli davvero contare tutti, ma si potrebbe, volendo, arrivare in fondo)
  2. (I): "Cosa pensate di quello che ha detto Robi?"
  3. (Valeria): "Che se non si possono contare vuol dire che non si possono contare in un giorno, in un anno, in una vita, in tutti gli anni della Terra... o dell'Universo, quindi è uguale a dire che non si può arrivare in fondo, ... che sono infiniti, sono tutte cose uguali"
  4. (Consuelo): "No, che non si può arrivare in fondo vuol dire una cosa precisa e diversa da che non si possono contare, vuol dire, come ha detto e ripetuto Robi, che sono ... che se ne penso tremila miliardi e arrivo all'ultimo non è l'ultimo, perché possono andare oltre..."
  5. (Ines): "c'è una cosa che ha detto Robi e anche Consuelo che non è ...contare nel tempo. Hanno detto che se arrivo in fondo... se prendo l'ultimo... l'ultimo se immagino che c'è... aiutatemi a dirlo!"
  6. (I): "Ines ha detto che dire che non si può arrivare in fondo è diverso da dire che non si possono contare nel tempo, aiutate Ines!"
  7. (Consuelo): "Che se immagino l'ultimo non è l'ultimo, ce n'è ancora"
  8. (Dan): "Se è l'ultimo è l'ultimo, o è l'ultimo o no"
  9. (Valeria): "Come Dan, se è l'ultimo è l'ultimo e basta; il punto è che o sono infiniti, e allora non basta una vita a contarli tutti, o si possono contare, e allora prima o poi li conto tutti. Se non si possono contare sono infiniti, se sono infiniti non si possono contare."
  10. (Robi): "Non sono d'accordo con la Vale, Ines... Ines, hai detto che se immagini che l'ultimo c'è... Questo è il punto, se immagini che l'ultimo c'è.... Se immagini che l'ultimo c'è ci ragioni su, e ci aggiungi uno, e non è più l'ultimo!"
  11. (Ines): "Non è nel tempo, è nella mente, ci ragioni su... fuori del tempo, ora è qui, l'ultimo {calca la voce} che però non può essere l'ultimo perché aggiungendo uno..."
  12. (Robi): "Viene che logicamente {calca la voce} non può essere l'ultimo
  13. (Rocco): "Che logicamente {calca la voce}.. e logicamente {calca la voce} o si possono contare in un giorno o in una vita o in cento vite, oppure no. I numeri non si possono contare e basta, ci vorrebbero milioni di vite, che senso ha dire che si possono contare, se non si possono contare, mica possiamo fare la... come si dice... la staffetta, mi sembra che anche i numeri della calcolatrice non si possono contare in questo senso, e allora ... sono infiniti!"
  14. (Ines): "Ecco, Rocco, non penso come te, ma mi dai... come diciamo noi... mi dai l'argomento {calca la voce}. Prendiamo il numero più grande della calcolatrice a 12 cifre, che è 999999999999 {l'insegnante se lo fa ripetere e lo scrive alla lavagna}. Non ci posso arrivare a contarli tutti, da 1, e poi ci sarebbero anche quelli con la virgola... Nemmeno con la staffetta ce la faremmo... probabilmente...Ma lo posso pensare {calca la voce}. E poi pensare quello con un 9 in più, che non sta più sulla calcolatrice".
  15. (Dan): "Ora mi sembra di capire cosa volete dire, ... infinito vuol dire che ... se dovesse esserci l'ultimo, se potessi pensare l'ultimo... nella realtà .... nella realtà dei numeri... si, insomma, nei numeri come sono fatti... proprio i numeri... se ne troverebbe uno in più, non devo più pensare con il tempo che ci vuole a contarli..."
  16. (Mara): "Ma se è l'ultimo ci devo arrivare, contando, all'ultimo, e ci vuole del tempo, e se sono troppi, non ci possiamo arrivare nemmeno con la staffetta, e allora... non lo posso pensare... come è fatto il vostro ultimo? Quello di Ines lo vedo, ma l'ultimo immaginato non lo vedo mica..."

ESERCIZI

I) Identificare i contenuti matematici del frammento di discussione

II) Che dire delle prestazioni matematiche degli allievi durante la discussione

III) Identificare aspetti salienti della costruzione sociale del sapere: ruolo dell’insegnante, contributi individuali alla chiarificazione concettuale, stile dell’interazione, ecc.

IV) Ipotizzare una possibile prosecuzione dell’attività

 

 

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