ATTIVITA
2: FRAMMENTO DI DISCUSSIONE SULLINFINITO
FONTE:
siamo allinizio del II quadrimestre della II media, in una classe
di 22 alunni della provincia di Imperia (impiegati di basso livello, lavoratori
agricoli immigrati dal Sud, lavoratori stagionali nel turismo; percentuale
media di disoccupazione). La classe pratica la discussione collettiva
dallinizio dellanno scolastico precedente.
In campo aritmetico sono state svolte
attività sulla scrittura decimale-posizionale dei numeri interi
e decimali, sulla conversione frazioni/numeri decimali e viceversa, sul
calcolo aritmetico con le frazioni e con i numeri decimali; non è
stato ancora svolto il teorema di Pitagora, nè introdotta la radice
quadrata. Alcune settimane prima si è già brevemente lavorato
su "quanti numeri ci sono tra 2 e 5", con produzione individuale di ipotesi
e poi discussione di tre ipotesi in un'ora di tempo; la discussione aveva
messo in evidenza che "non li possiamo contare tutti", e aveva anche evidenziato
questi tipi di numeri: i naturali, i "decimali finiti" della
calcolatrice, i "decimali finiti", i periodici. Gli alunni si
erano appropriati, nel corso della discussione, del termine "cifra", poi
ripreso in altre circostanze. Qualche volta avevano già ascoltato
e usato il termine "infinito", senza rifletterci su. Linsegnante
intende approfondire la riflessione sui numeri (su "quanti e quali
sono"), in vista dellapproccio ai numeri irrazionali collegata
al Teorema di Pitagora e alle radici quadrate.
Consegna individuale:
"Quanti e quali sono i numeri tra 0 e 10?"
11 alunni producono risposte esaurienti,
dicendo che sono "infiniti" (o "non
si possono contare") e descrivendo almeno tre tipi di numeri
(esempio: VALERIA: "I
numeri tra 0 e 10 non si possono contare; tra i numeri ci sono i numeri
interi, come 2, 3 e 4; i numeri decimali, come 2,5, ma i numeri decimali
li possiamo ancora dividere tra quelli periodici, come 0,333333... che
è anche la frazione 1/3, e quelli non periodici, come 0,5 che è
la frazione 1/2");
2 alunni rispondono "dieci"
oppure "undici" ed elencano i naturali;
4 alunni rispondono "infiniti"
(o "non si possono contare") e descrivono
solo due tipi di numeri (quelli "senza virgola" e quelli "con
virgola", o quelli interi e le "frazioni proprie");
5 alunni rispondono "infiniti"
(o "non si possono contare") e fanno solo
qualche esempio di due tipi diversi, senza alcun commento (con risposte
del tipo: "2; 3; 4; 0,25")
L'insegnante sceglie tre risposte, una
del primo tipo (Valeria), una del terzo e una del quarto, e le distribuisce
fotocopiate e chiede agli alunni (come compito individuale) di individuare
analogie e differenze tra la loro risposta e quelle proposte. Durante
questa attività individuale Robi si rivolge allinsegnante
e dice che ha ragionato come Valeria, ma non proprio uguale:
"Perché io
ho risposto che sono infiniti. E' diverso, che non si possono contare,
e che sono infiniti. Se non si possono contare... Che mica che quelli
della calcolatrice li posso contare, ma se avessi tempo ... anni... li
potrei contare tutti! Mentre quelli tra 0 e 10 proprio non li posso contare,
nemmeno in 1000 anni, perché..." (Ins.: perché?)
"... perché se sono arrivato in fondo...
non posso arrivare in fondo... ce ne sono sempre altri"
Linsegnante decide di cogliere loccasione
di quanto ha detto Robi per mettere in discussione i significati delle
espressioni "sono infiniti" e "non si possono contare".
(FRAMMENTO INIZIALE DELLA DISCUSSIONE)
- (Insegnante: chiede a Robi di ripetere a tutti il suo
discorso "privato", e con lui arriva a questa formulazione
che viene scritta alla lavagna: "Infinito" vuol dire che non si possono
contare perché non si arriva in fondo; "non si possono contare"
può voler dire anche che sono troppi per poterli davvero contare
tutti, ma si potrebbe, volendo, arrivare in fondo)
- (I): "Cosa pensate di quello
che ha detto Robi?"
- (Valeria): "Che se non si possono
contare vuol dire che non si possono contare in un giorno, in un anno,
in una vita, in tutti gli anni della Terra... o dell'Universo, quindi
è uguale a dire che non si può arrivare in fondo, ...
che sono infiniti, sono tutte cose uguali"
- (Consuelo): "No, che non si può
arrivare in fondo vuol dire una cosa precisa e diversa da che non si
possono contare, vuol dire, come ha detto e ripetuto Robi, che sono
... che se ne penso tremila miliardi e arrivo all'ultimo non è
l'ultimo, perché possono andare oltre..."
- (Ines): "c'è
una cosa che ha detto Robi e anche Consuelo che non è ...contare
nel tempo. Hanno detto che se arrivo in fondo... se prendo l'ultimo...
l'ultimo se immagino che c'è... aiutatemi a dirlo!"
- (I): "Ines ha detto che dire
che non si può arrivare in fondo è diverso da dire che
non si possono contare nel tempo, aiutate Ines!"
- (Consuelo): "Che se immagino
l'ultimo non è l'ultimo, ce n'è ancora"
- (Dan): "Se è l'ultimo
è l'ultimo, o è l'ultimo o no"
- (Valeria): "Come Dan, se è
l'ultimo è l'ultimo e basta; il punto è che o sono infiniti,
e allora non basta una vita a contarli tutti, o si possono contare,
e allora prima o poi li conto tutti. Se non si possono contare sono
infiniti, se sono infiniti non si possono contare."
- (Robi): "Non sono d'accordo con
la Vale, Ines... Ines, hai detto che se immagini che l'ultimo c'è...
Questo è il punto, se immagini che l'ultimo c'è.... Se
immagini che l'ultimo c'è ci ragioni su, e ci aggiungi uno, e
non è più l'ultimo!"
- (Ines): "Non è nel tempo,
è nella mente, ci ragioni su... fuori del tempo, ora è
qui, l'ultimo {calca la voce} che però non può essere
l'ultimo perché aggiungendo uno..."
- (Robi): "Viene che logicamente
{calca la voce} non può essere l'ultimo
- (Rocco): "Che logicamente
{calca la voce}.. e logicamente {calca
la voce} o si possono contare in un giorno o in
una vita o in cento vite, oppure no. I numeri non si possono contare
e basta, ci vorrebbero milioni di vite, che senso ha dire che si possono
contare, se non si possono contare, mica possiamo fare la... come si
dice... la staffetta, mi sembra che anche i numeri della calcolatrice
non si possono contare in questo senso, e allora ... sono infiniti!"
- (Ines): "Ecco, Rocco, non penso
come te, ma mi dai... come diciamo noi... mi dai l'argomento
{calca la voce}. Prendiamo il numero più
grande della calcolatrice a 12 cifre, che è 999999999999 {l'insegnante
se lo fa ripetere e lo scrive alla lavagna}. Non
ci posso arrivare a contarli tutti, da 1, e poi ci sarebbero anche quelli
con la virgola... Nemmeno con la staffetta ce la faremmo... probabilmente...Ma
lo posso pensare {calca la voce}. E poi
pensare quello con un 9 in più, che non sta più sulla
calcolatrice".
- (Dan): "Ora mi sembra di capire
cosa volete dire, ... infinito vuol dire che ... se dovesse esserci
l'ultimo, se potessi pensare l'ultimo... nella realtà .... nella
realtà dei numeri... si, insomma, nei numeri come sono fatti...
proprio i numeri... se ne troverebbe uno in più, non devo più
pensare con il tempo che ci vuole a contarli..."
- (Mara): "Ma se è l'ultimo
ci devo arrivare, contando, all'ultimo, e ci vuole del tempo, e se sono
troppi, non ci possiamo arrivare nemmeno con la staffetta, e allora...
non lo posso pensare... come è fatto il vostro ultimo? Quello
di Ines lo vedo, ma l'ultimo immaginato non lo vedo mica..."
ESERCIZI
I) Identificare i contenuti matematici del frammento
di discussione
II) Che dire delle prestazioni matematiche degli
allievi durante la discussione
III) Identificare aspetti salienti
della costruzione sociale del sapere: ruolo dellinsegnante,
contributi individuali alla chiarificazione concettuale, stile dellinterazione,
ecc.
IV) Ipotizzare una possibile prosecuzione dellattività
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