COSTRUZIONE GEOMETRICA

Costruzioni in Geometria

Si dice spesso che la geometria classica è la geometria della riga e del compasso. Il senso di questa frase è assai profondo e complesso e riguarda il legame tra una pratica strumentale (l’uso appunto di riga e compasso materiali) e la costruzione di una teoria (la geometria degli Elementi di Euclide). Il fatto che la geometria greca si riferisse inequivocabilmente a strumenti teorici e non pratici si comprende molto bene non tanto pensando a cosa si può fare con tali strumenti, piuttosto cosa con essi non si può fare. Prendiamo ad esempio i grandi problemi di costruzione, come quello della duplicazione del cubo o della trisezione dell'angolo, che tanto appassionarono i geometri dell'antichità. Se da un punto di vista pratico, come sembra abbastanza ovvio, esiste sempre una soluzione, da un punto di vista teorico, al contrario, tale soluzione può non esistere. In effetti, mentre è sempre possibile disegnare con ‘riga e compasso’ soluzioni con un’approssimazione che supera il controllo di una verifica empirica, non è possibile costruire soluzioni che superino il controllo di una dimostrazione all'interno del sistema di assiomi, corrispondente ad un uso teorico degli strumenti riga e compasso. L'importanza di tali problemi nella storia della 'geometria' è data dal fatto che essi segnano limiti e potenzialità di un ben definito sistema di principi (assiomi).

E' in questo senso che una costruzione geometrica si configura come un problema geometrico (Mariotti, 1996), la cui soluzione è attesa in un ben preciso quadro teorico. Ogni costruzione, al di là della sua effettiva realizzazione, ha come giustificazione della sua correttezza un teorema che stabilisce le relazioni geometriche tra i vari elementi della configurazione utilizzata.

In altri termini, il procedimento attuato da una costruzione ha come corrispettivo nella teoria un teorema che stabilisce i legami tra i vari elementi della figura geometrica rappresentata dal disegno ottenuto.

La relazione tra costruzione e Teorema, che ne è la validazione, è di per sé complesso e la confusione tra disegno e figura geometrica, non contribuisce certo a renderlo più chiaro. Generalmente, a livello scolastico, il legame tra un disegno e una figura geometrica viene stabilito nei termini pratici attraverso l'idea di un processo di approssimazione; tale idea si basa sulla convinzione che con approssimazioni successive sempre migliori, il disegno tende a raggiungere la idealità della figura. Di solito, anche le costruzioni ottenute con strumenti, come la riga e il compasso, si presentano in questo quadro e si oppongono alle costruzioni a mano libera in termini puramente empirici di precisione. Il fatto che durante la scuola media gli allievi incontrino le costruzioni con strumenti - quando questo accade - nell'ambito delle attività di "Educazione Tecnica" o di "Educazione Artistica", contribuisce a ribadire l'aspetto pratico delle costruzioni e la loro separazione dal contesto geometrico. L'uso di strumenti dunque, viene in genere visto in senso pratico e non teorico (per una discussione dettagliata vedi anche Mariotti (1995; 1996) in questo modo, si dimentica e si nasconde agli allievi un fatto fondamentale: in uno strumento è racchiuso un sapere, per virtù del quale è possibile risolvere una classe particolare di problemi.

La dialettica tra pratica e teoria è un elemento ricorrente delle attività proposte nelle diverse unità didattiche (vedi ad esempio Unità di lavoro G, M, N, O, P, Q)

Costruzioni come campo di esperienza , disegni e costruzioni

Le costruzioni in ambiente Cabri costituiscono il Campo di esperienza.

L'evoluzione del campo di esperienza si realizza nel tempo attraverso le attività sociali della classe. L'interazione verbale si realizza in attività deputate a finalità specifiche di costruzione sociale del sapere: la discussione collettiva.

La dialettica si instaura tra la voce della pratica e la voce della teoria .

La pratica degli allievi consiste nell’eperienza del disegno evocata

  da 'oggetti concreti' come i disegni carta e matita, e/o compasso e riga

• da 'oggetti computazionali' come le figure di Cabri o comandi di Cabri.

Il fatto che i comandi disponibili possano essere riconosciuti come proprietà teoriche disponibili rende la procedura stessa di costruzione un segno esterno del teorema della teoria. Ancora una volta tale segno (la parola comando) funziona come controllo interno, in quanto rimanda alla posssibilità / necessità di esplicitare tale teorema (i.e. scrivere il suo enunciato e la sua dimostrazione)

Il contesto esterno è costituito

  da 'oggetti concreti' come i disegni carta e matita, e gli artefatti carta, matita compasso e riga.

• da 'oggetti virtuali' come le figure di Cabri e i comandi di Cabri e da segni quali gesti, disegni, figure di Cabri, 'parole/comando', testi

L'attività proposta nelle unità didattiche P e Q prende inizio proprio da una rivisitazione dei disegni e degli strumenti quali appartengono all'esperienza degli allievi. Tali oggetti sono parte 'della realtà fisica', nel senso che il compasso è un oggetto concreto per il quale sono già disponibili schemi d'azione, più o meno familiari agli allievi. Essi comunque hanno una materialità fisica e vincoli e relazioni oggettive che ne determinano le possibili azioni. Il compasso si apre, si fa girare intorno alla sua punta, lascia una traccia sul foglio; le relazioni intrinseche alle parti del compasso hanno una conseguenza diretta sulle proprietà della traccia prodotta.

La rivisitazione del disegno è fatta spostando l'attività di disegno in ambiente Cabri, di modo che il contesto esterno si sposti dal mondo dei disegni riga e compasso, al modo virtuale delle "figure di Cabri", e degli schemi di azione costituiti dall'uso dei comandi disponibili.

L'evoluzione del campo di esperienza è legata alla pratica in ambiente Cabri: consegne di costruzione, intepretazione e predizione della stabilità di figure, discussioni matematiche; ma riguarda anche la pratica delle costruzioni riga e compasso che vengono a costituire in modo ambivalente referenti concreti e/o segni delle figure di Cabri.

Il rapporto tra i disegni, carta e penna & riga e compasso, e le costruzioni di figure di Cabri, costituisce un aspetto peculiare del contesto esterno che per questa ragione viene dunque ad avere una doppia faccia una fisica (disegni su carta) ed una virtuale (figure di Cabri).

Costruzioni come strumento di mediazione semiotica

La nostra ipotesi lega l’evoluzione di una prospettiva teorica per la geometria alle attività di costruzione in ambiente Cabri: nel contesto di tali attività infatti emerge il significato teorico del problema di costruzione e parallelamente si costruisce il significato di Teorema.

Il punto cruciale, necessario per pensare un problema di costruzione in termini teorici anziché pratici, è rappresentato dal fatto che ciò che deve essere validato è la procedura, e non il prodotto di tale procedura (il disegno). In ambiente carta e penna, la necessità di validare il processo di costruzione, piuttosto che il prodotto non risulta spontanea (Mariotti, 1996). Di fronte ad al disegno di un quadrato, ottenuto con una buona precisione ad esempio sfruttando la quadrettatura del foglio, è difficile convincere i ragazzi che il disegno non è "geometricamente" accettabile. La risposta fornita alla consegna di costruire un quadrato è perfettamente accettabile e il mettere in dubbio la sua accettabilità può creare gravi problemi di senso per gli allievi, che non possono seguire l'insegnante e condividerne i criteri di validazione. Al contrario, quando un problema di costruzione viene presentato in ambiente Cabri, diventa assai più semplice far accettare ai ragazzi la necessità di validare la procedura piuttosto che il disegno ottenuto; infatti, tale necessità nasce ed è mediata dalla necessità di spiegare perché la figura di Cabri passa il test del trascinamento.

Quando la figura è trascinata, perché alcune costruzioni funzionano e altre no?

Una volta accettato il test del trascinamento come strumento per accertare l’accettabilità della figura, la domanda precedente assume senso e rispondere a tale domanda richiede il passo successivo di prendere in considerazione la procedura utilizzata. La necessità di giustificare la costruzione nasce dalla necessità di spiegare perché resta stabile al trascinamento o perché è prevedibile che resti stabile; d’altra parte la spiegazione richiesta sposta automaticamente l'attenzione dalla figura al procedimento seguito per realizzarla e di conseguenza contribuisce all’emergere del significato teorico del problema di costruzione (Mariotti, 1998; 1999).

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI:

Mariotti, M.A.: 1995, ‘Le rappresentazioni grafiche e l'apprendimento della geometria’ in B. D'Amore, Insegnare ad apprendere la matematica in aula: situazioni e prospettive, Bologna, Pitagora, pp. 47 -58.

Mariotti, M.A.: 1996, ‘Costruzioni in geometria’, su L'insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 19B, n.3, pp. 261 - 88.

Mariotti, M.A.: 1998, ‘Introduzione alla dimostrazione all'inizio della scuola secondaria superiore’, su L'insegnamento della matematica e delle Scienze Integrate, 21B, 3, pp. 209-52.

Mariotti, M.A.: 1999, ‘Un software per una teoria’, in Atti del 20° Convegno Nazionale UMI - CIIM , Orvieto, Notiziario dell'UMI Supp. n. 10, Ottobre 1999.