Gli allievi attraverso un’esplorazione libera devono individuare la caratteristica delle frazioni uguali ad 1 o maggiori di 1 e la relazione tra le frazioni e l’unità.
L’attività è supportata da schede (scheda 6, scheda 7).

In questa situazione l’intreccio tra aspetto geometrico ed aspetto numerico è molto forte; il supporto grafico, che può guidare e suggerire ambiti e vincoli per il verificarsi delle condizioni poste, consente a tutti gli allievi di formulare ipotesi. Anche in questa fase, però, è necessario convincere i ragazzi che non si deve aver paura di produrre congetture che potrebbero rivelarsi false (alcuni allievi tendono a scrivere con la matita per poter subito cancellare o tengono vicino il bianchetto per usarlo ogni momento) : l’importante è che la motivazione sia ben argomentata (sicuramente una congettura non vera ma ben argomentata "vale" molto di più di una congettura vera ma non motivata) e che ci si abitui a verificare se l’ipotesi formulata è corretta ed in caso negativo individuare il punto debole del ragionamento e formulare un’altra congettura: rinfranca gli allievi sapere che la matematica spesso ha progredito grazie ad errori e a tentativi.
La scheda 6 contiene:

1. un esercizio di applicazione (es.1) che serve da un lato per appropriarsi tecnicamente del nuovo metodo di rappresentazione e dall’altro per iniziare ad osservare la posizione delle frazioni, che sono state scelte appositamente minori,maggiori ed uguali ad 1,
2. un esercizio di esplorazione (es.2) per svolgere il quale alcuni allievi si appoggiano solo sullo strumento grafico, mentre altri allievi sfruttano il postulato 2 ( 6/5 è 6 volte 1/5) e una conoscenza indotta sia dallo schema grafico sia da considerazioni numeriche (5/5 = 1),
3. esercizi in cui si deve generalizzare quanto si è scoperto od osservato sullo schema grafico.
   

Non è raro che, in classe, ancora prima che l’insegnante ponga il problema, qualche allievo scopra che per esempio 6/5 si può scrivere come 1 + 1/5; se questo avviene, la scoperta deve venire socializzata (nelle nostre classi questo è avvenuto non senza aspra discussione perché per qualcuno “1+1/5 fa 2/5 e non 6/5” e solo la verifica sullo schema grafico e la mancanza di argomentazioni “teoriche” a favore della seconda ipotesi mette fine alla disputa) e diventare “la scoperta di…(nome dell'alunno).” . E’ necessario comunque soffermarsi sulla seconda domanda dell’esercizio 2 e fare in modo che tutti ne capiscano l’argomentazione (per i più deboli è di supporto il riflettere sullo schema grafico, infatti per costruire 6/5 bisogna riportare 6 volte la parallela al segmento generatore di 1/5 oltrepassando 1 sulla retta dei numeri proprio di 1/5) in quanto sarà poi ripresa, con modalità diverse, nella scheda 7.

Quasi tutti gli allievi riescono ad individuare le condizioni per cui a/b = 1 ed a/b > 1, che diventeranno altri due postulati della teoria che si sta costruendo.

Come nelle altre situazioni, è molto importante il momento della correzione della scheda intesa come il confronto di vari tipi di risposte, scaturite dalla classe, tutte egualmente valide. Gli allievi che hanno ancora bisogno del supporto concreto dello schema grafico, si sentono valorizzati perché sono riusciti ad ipotizzare una congettura, anche se molto locale, e riescono a seguire, e a poco per volta interiorizzare, le congetture più generali di altri ragazzi. Nella classe si socializzano i diversi metodi: grafico, numerico, algebrico, ognuno dei quali supporta l’altro: è da questa dinamica che evolvono le conoscenze.

Le consegne della scheda 7 hanno stili diversi: in alcune si lascia aperto il problema, sono gli allievi che devono individuare relazioni di tipo generale tra le variabili in gioco, in altre si chiedono "le condizioni per cui …" per ribadire il carattere di condizionalità degli enunciati con l’uso del se, in altre ancora si propone "è vero che …" che spinge alla verifica di un’ipotesi favorendo il ricorso allo strumento grafico per compiere azioni di controllo e di esplorazione. Si vogliono far emergere le caratteristiche salienti che devono essere possedute dai prodotti matematici degli allievi affinché siano significativi.

L’esercizio 4 non è semplice: l’insegnante deve passare tra i banchi ed aiutare gli allievi in difficoltà, suggerendo loro di sostituire alle lettere valori numerici, in questo modo l’affermazione algebrica diventa un’altra cosa, un qualcosa di conosciuto, sulla quale si può operare. In una classe, nella quale un ragazzo, Ale M, aveva anticipato la scoperta che 6/5 = 1+1/5, alcuni allievi, dopo la sostituzione numerica hanno esclamato: “ma non è altro che quello che dice Ale M!”. Se si vuole si può anche dimostrare, in modo interattivo con la classe, che se a>b, allora a/b = 1+(a-b)/b (dimostrazione con la classe)
Soprattutto con la scheda 7 il supporto grafico incomincia ad essere affiancato dal ricorso ai postulati e ai teoremi dei quali si inizia a capire l’utilità, nonostante le logiche titubanze legate soprattutto alla dimostrazione (impressioni ragazzi).

Bisogna ribadire il fatto che il fine dell’attività non è il saper dimostrare “da soli”, nonostante che in alcuni spezzoni del lavoro si richieda una dimostrazione (solitamente utilizzando un copione), che però non viene valutata negativamente se incompleta o errata. Con la dimostrazione “collettiva” gli allievi si avvicinano alla funzione di trasformazione del linguaggio algebrico: si passa da un’espressione ad un’altra espressione attraverso l’applicazione di proprietà ed ogni passaggio ha un significato, in quanto giustificato da un postulato o da un teorema nell’ambito della teoria assunta come riferimento, per dirlo con le parole di Giovanni “dopo un susseguirsi di passaggi siamo riusciti a portare la frazione dove volevamo, però per tutto questo susseguirsi di passaggi dobbiamo sapere i postulati che abbiamo fatto”