Costruzioni in Geometria

Si dice spesso che la geometria classica è la geometria della riga e del compasso. Il senso di questa frase è assai profondo e complesso e riguarda il legame tra una pratica strumentale (l’uso appunto di riga e compasso materiali) e la costruzione di una teoria (la geometria degli Elementi di Euclide). Il fatto che la geometria greca si riferisse inequivocabilmente a strumenti teorici e non pratici si comprende molto bene non tanto pensando a cosa si può fare con tali strumenti, piuttosto cosa con essi non si può fare. Prendiamo ad esempio i grandi problemi di costruzione, come quello della duplicazione del cubo o della trisezione dell'angolo, che tanto appassionarono i geometri dell'antichità. Se da un punto di vista pratico, come sembra abbastanza ovvio, esiste sempre una soluzione, da un punto di vista teorico, al contrario, tale soluzione può non esistere. In effetti, mentre è sempre possibile disegnare con ‘riga e compasso’ soluzioni con un’approssimazione che supera il controllo di una verifica empirica, non è possibile costruire soluzioni che superino il controllo di una dimostrazione all'interno del sistema di assiomi, corrispondente ad un uso teorico degli strumenti riga e compasso. L'importanza di tali problemi nella storia della 'geometria' è data dal fatto che essi segnano limiti e potenzialità di un ben definito sistema di principi (assiomi).

E' in questo senso che una costruzione geometrica si configura come un problema geometrico (Mariotti, 1996), la cui soluzione è attesa in un ben preciso quadro teorico. Ogni costruzione, al di là della sua effettiva realizzazione, ha come giustificazione della sua correttezza un teorema che stabilisce le relazioni geometriche tra i vari elementi della configurazione utilizzata.

In altri termini, il procedimento attuato da una costruzione ha come corrispettivo nella teoria un teorema che stabilisce i legami tra i vari elementi della figura geometrica rappresentata dal disegno ottenuto.

La relazione tra costruzione e Teorema, che ne è la validazione, è di per sé complesso e la confusione tra disegno e figura geometrica, non contribuisce certo a renderlo più chiaro. Generalmente, a livello scolastico, il legame tra un disegno e una figura geometrica viene stabilito nei termini pratici attraverso l'idea di un processo di approssimazione; tale idea si basa sulla convinzione che con approssimazioni successive sempre migliori, il disegno tende a raggiungere la idealità della figura. Di solito, anche le costruzioni ottenute con strumenti, come la riga e il compasso, si presentano in questo quadro e si oppongono alle costruzioni a mano libera in termini puramente empirici di precisione. Il fatto che durante la scuola media gli allievi incontrino le costruzioni con strumenti - quando questo accade - nell'ambito delle attività di "Educazione Tecnica" o di "Educazione Artistica", contribuisce a ribadire l'aspetto pratico delle costruzioni e la loro separazione dal contesto geometrico. L'uso di strumenti dunque, viene in genere visto in senso pratico e non teorico (per una discussione dettagliata vedi anche Mariotti (1995; 1996) in questo modo, si dimentica e si nasconde agli allievi un fatto fondamentale: in uno strumento è racchiuso un sapere, per virtù del quale è possibile risolvere una classe particolare di problemi.

La dialettica tra pratica e teoria è un elemento ricorrente delle attività proposte nelle diverse unità didattiche (vedi ad esempio Unità di lavoro G, M, N, O, P, Q)