Inizialmente gli allievi possono essere spaventati dalla consegna, bisogna rincuorarli e sdrammatizzare la situazione, per esempio affermando che l’attività è sì difficile, ma gestibile, infatti in altre classi i ragazzi sono riusciti a proporre delle traduzioni, ognuna delle quali è stata importante per la scelta finale, e che darà soddisfazioni in quanto avvicinerà ad un tipo di linguaggio specifico dei matematici.

E’ molto importante:

• seguire il ritmo degli alunni e non voler arrivare in fretta ad una formalizzazione corretta (in questo momento non è la produzione finale che conta, ma il processo di costruzione),
• cercare di far esplicitare le ipotesi e le concezioni possedute dagli alunni sull’uso delle lettere in matematica: per esempio se 1/a vale 1/5 non è detto che per i ragazzi 1/(a+1) valga 1/6 (spezzone di discussione)
• non essere direttivi nella discussione, ma piuttosto far esplodere contraddizioni
• non scandalizzarsi di alcune scritte ….

In questa fase il ruolo di mediatore didattico esercitato dall’insegnante è fondamentale per lo sviluppo dell’attività: è il momento in cui gli allievi iniziano a capire l'aspetto convenzionale del linguaggio algebrico e rendersi conto che:

• le lettere non rappresentano solo la sostituzione di numeri particolari letti sullo strumento geometrico, ma un qualunque numero intero, anche quelli che non si vedono sul sistema grafico (lettera come variabile),
• nello stesso tempo, le lettere rappresentano la sintesi di tutti questi numeri (lettera come generalizzazione)
• la lettera indicata rappresenta sempre lo stesso numero

Il percorso non è lineare, non è a crescita continua: ci saranno due passi avanti e quattro passi indietro, non bisogna scoraggiarsi; il tempo di comprensione, prima ancora che di apprendimento, dei ragazzi è molto diverso; bisogna equilibrare il momento in cui si usano le lettere in sé ed il momento dell’esempio numerico, perché alcuni ragazzi, in particolare quelli deboli, hanno bisogno di ancorarsi al "conosciuto" per capire il nuovo.

Inoltre i termini usati dall’insegnante come "generico", "variabile" sono ambigui e inducono a interpretazioni sbagliate.

Bisogna poi saper cogliere e rilanciare le scritte proposte dai bambini che possono anticipare concetti importanti.

In una classe, ad esempio, un’alunna ha proposto: A/(A+10), A/(A+9), A/(A+8), A/(A+7), A/(A+6), A/(A+5), A/(A+4), A/(A+3), A/(A+2), A/(A+1) … che ha consentito di porre l'attenzione sulla prosecuzione della sequenza con A/(A+0) = A/A = 1 (letto sullo schema grafico), sul fatto che le diseguaglianze sono infinite e che il numeratore può essere diverso da 1, ma, se è sempre lo stesso, l’enunciato resta valido.

Nel momento della discussione-confronto i ragazzi lavorano con interesse in quanto si crea un’atmosfera di attesa nella quale insegnante e alunni giocano ruoli diversi intercambiabili.

Se si ritiene opportuno svolgere l’attività di confronto individuale, questa volta si può scegliere un numero maggiore di enunciati prodotti dalla classe in modo da coprire il più possibile le diverse produzioni. In questo caso, infatti, l’attività di confronto è mirata prevalentemente a verificare l’interpretazione di scritture algebriche e il controllo della relazione d’ordine espressa. (protocollo1)

Molti allievi, anche per valutare le formule, si appoggiano allo schema grafico e tramite un passaggio continuo, che deve essere supportato dall’insegnante, da espressione algebrica a sistema grafico ed ancora ad enunciato, giungono a coordinare tra loro i diversi modi di esprimere l’enunciato, in linguaggio naturale e in linguaggio algebrico.

Lo strumento grafico è fondamentale per la valutazione di una scrittura algebrica: nel momento in cui gli alunni dalla scritta, contestata da qualche compagno, passano allo schema grafico, con la mano accompagnano i vari passaggi e ri-scoprono il significato dell’enunciato scritto a parole: maggiore e minore è da loro tradotto "viene dopo", "viene prima".

Attraverso il confronto, la discussione, i chiarimenti sulle varie scritture proposte dagli alunni si perviene alla formalizzazione dell’enunciato, che è diverso da classe a classe, perché dipende dal comportamento degli allievi e dalla gestione dell’insegnante.

Esempi di formalizzazione dell’enunciato concordato dalle classi

1. Se b < a, allora 1/b > 1/a che traduce " le frazioni che hanno numeratore 1 si ordinano in modo crescente mettendo i denominatori in ordine decrescente"
2. 1/a > 1/(a+1) che traduce "se il numeratore è 1, si considera il denominatore: più grande è il denominatore e più piccola è la frazione"
3. 1/(a + n) < 1/a che trduce "se la frazione unitaria ha il denominatore maggiore, la frazione è minore"

Non è detto che i ragazzi traducano letteralmente l’enunciato della classe, se questo succede, bisogna farlo notare solo in un momento successivo all’attività di costruzione (esempio)

Per quanto riguarda la scheda Fraz 3 di esercizi:

la prima domanda (E’ vero che 1/5 < 1/6? Motiva la tua risposta) è rivolta in particolare agli alunni più deboli: benché nell’enunciato sia ben distinta la frazione dal denominatore, e i ragazzi a parole sembrino averlo capito, nel momento in cui si cambia registro ritorna, per i bambini più deboli, lo stereotipo dell’ordinamento dei naturali.
Interessante notare come alcuni ragazzi molto deboli, alla domanda abbiano risposto: "per me sì, per il falegname no"; questo ha portato a riesaminare la questione, perché la risposta portava in sé una contraddizione.

La domanda: " Considera la frazione 1/a, esiste un valore di a tale che 1/a coincida sulla retta dei numeri col punto che corrisponde a 0?" si presta ad analizzare il caso preso in esame , ma anche il caso "come si può rappresentare 1/0"
Interessante la mediazione che può svolgere l’insegnante basandosi sul sistema di rappresentazione (in taluni casi gli alunni ci arrivano da soli e allora si può approfittare del loro lavoro).