MODI DI PENSARE: A PROPOSITO DI "SUPPORTO"

Parlando di "sistema cartesiano" usiamo spesso espressioni del tipo: "il piano cartesiano" (e anche nel caso del "sistema polare" facciamo riferimento a "punti del piano", ecc.).

La geometria di Euclide (secondo la quale si è organizzato per molti decenni l'insegnamento tradizionale della geometria a tutti i livelli scolastici - in modo esplicito all'Istituto Magistrale, al Liceo Classico e al Liceo Scientifico; in modo implicito nelle altre scuole) ci abitua a pensare al piano come "prolungamento indefinito della superficie piana di un foglio in tutte le direzioni". Abbiamo quindi ricevuto una sorta di "imprinting" che ci condiziona moltissimo nell'organizzazione della nostra esperienza spaziale. A questo proposito possiamo chiederci:

• è questo il modo di pensare le superfici piane da parte dei bambini (prima dell'insegnamento della geometria)? E cosa sappiamo delle culture antiche?
• e ancora: è necessario concepire il piano in modo euclideo, al fine di fissare un riferimento cartesiano (o un riferimento polare)?
  

Per quanto riguarda il modo dei bambini di pensare alle superfici piane, i bambini discriminano abbastanza presto una piccola superficie "piana" da una piccola superficie "curva". Però laddove essi possono esperire la curvatura della superficie terrestre (ad esempio in riva al mare, con le navi che via via sembrano affondare nel mare all'orizzonte) essi tendono ad assimilare, senza alcun senso di contraddizione, il "curvo" e il "piano" (abbiamo raccolto, a sette-otto anni, testi molto interessanti di bambini di Voltri e di Camogli che si esprimono così: "la nave va avanti in piano e intanto va giù", "se ci fosse una strada diritta in mezzo al mare andrei avanti in piano ma a poco a poco scenderei").

Per quanto riguarda gli antichi, l'esperienza della curvatura della Terra indusse a concepire modelli diversi della Terra stessa: Terra sferica ma anche Terra cilindrica, con complesse relazioni tra la percezione locale della superficie terrestre(un lago, il mare calmo, un deserto pianeggiante) secondo l'idea di "piano" e la curvatura della superficie su estensioni più grandi.
Quindi, il piano di Euclide appare come una costruzione sofisticata e per nulla spontanea (se si prescinde da estensioni piccole). L'esigenza di formulare il V postulato potrebbe essere nata proprio dalla necessità di pensare il piano "indefinitamente esteso in ogni direzione senza curvatura".

Per quanto riguarda il sistema di riferimento cartesiano, Cartesio lo pensò usando come supporto il piano della geometria euclidea. Tuttavia sulla superficie terrestre noi siamo abituati a utilizzare il reticolo dei meridiani e dei paralleli per posizionare punti e per leggere la posizione dei punti che ci interessano. Per talune estensioni della superficie terrestre anche relativamente grandi (ad esempio, quella della cartina dell'Italia) il reticolo dei meridiani e dei paralleli è assimilabile al reticolo delle linee coordinate del piano cartesiano.

Sulla superficie terrestre il sistema dei meridiani e dei paralleli entra in contraddizione con il sistema di riferimento cartesiano in due situazioni:

zone polari (il sistema dei meridiani e dei paralleli dà luogo a un sistema polare - con "raggi" che sono i meridiani, e "circonferenze concentriche" che sono i paralleli); cliccare sull'immagine per vederla ingrandita
grandi estensioni geografiche (non si conservano le distanze tra i meridiani).

Una contraddizione ancora più vistosa si registra se ci si sposta (ad esempio) verso ovest per un lungo tratto: dopo un po' si ritorna al punto di partenza (mentre percorrendo una retta parallela all'asse delle ascisse da destra verso sinistra ci si allontana sempre più dal punto di partenza).

Le considerazioni ora fatte non hanno DIRETTA implicazione didattica (non sembra immediata una loro trasposizione didattica in classe come contenuti da insegnare); possono tuttavia servire all'insegnante per riflettere sui modi con cui il bambino può pensare al piano e può identificare il sistema dei meridiani e dei paralleli che trova sulle carte geografiche con il sistema delle coordinate cartesiane (identificazione legittima, come abbiamo visto, in certe situazioni - ma non in altre).