NUMERI, PIANO, SISTEMI DI RIFERIMENTO: aspetti matematici e didattici
quantificazione delle distanze e delle relazioni tra le distanze nel piano cartesiano

LA QUANTIFICAZIONE DELLE DISTANZE E DELLE RELAZIONI TRA LE DISTANZE NEL PIANO CARTESIANO

 Fissata una coppia di assi coordinati graduati ("asse delle ascisse", di solito orientato sul supporto "piano" da sinistra verso destra; "asse delle ordinate", di solito orientato sul supporto "piano" dal basso verso l'alto), ad ogni punto del piano corrisponde una unica coppia (ordinata) di numeri, che si ottengono proiettando ortogonalmente il punto sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate e leggendo i numero corrispondenti alle proiezioni.
Viceversa, fissata una coppia (ordinata) di numeri si riesce a determinare un unico punto che ha per ascissa il primo numero della coppia e per ordinata il secondo numero della coppia: basta riportare l'ascissa sull'asse delle ascisse, l'ordinata sull'asse delle ordinate e poi tracciare le perpendicolari ai due assi per i punti così trovati; il punto di incontro di tali perpendicolari avrà per ascissa e per ordinata il primo e il secondo elemento della coppia.

Quali sono i numeri di cui abbiamo bisogno per stabilire questa corrispondenza tra punti del piano e coppie di numeri?

I numeri naturali

Essi intervengono nelle attività prima descritte con parecchi loro "significati" (ovvero, adottando la definizione di "concetto" proposta da Vergnaud, il concetto di numero naturale interviene con diverse "situazioni di riferimento" e diversi "invarianti operatori"):

  • ordinamento e misura: 3<4 nel senso che 3 precede 4 e nel senso che il segmento tra 0 e 3 è più corto del segmento tra O e 4; nel riportare e nel leggere i numeri naturali sugli assi si fa continuamente uso di questo duplice riferimento alla misura e all'ordine;

  • cardinalità: nella conta delle tacche (o meglio, degli "spazi" tra le tacche).
I numeri interi Per potere distinguere "ascisse a destra dello zero" e "ascisse a sinistra dello zero", "ordinata sotto lo zero" e "ordinata sopra lo zero".
I numeri razionali

Essi compaiono sotto la duplice veste di frazioni e di numeri decimali (il concetto di numero razionale si avvale di una pluralità di rappresentazioni, in particolare 3/4 e 0,75; ricordiamo che la scrittura 3/4=0,75 è legittima per il fatto che si tratta di due scritture diverse, che comunicano "sensi" diversi - la divisione tra 3 e 4, nel primo caso; 0 unità, 7 decimi e 5 centesimi nel secondo caso- e che però si riferiscono allo ("denotano" lo) stesso "oggetto matematico".
Per riportare e leggere i numeri razionali sugli assi e per lavorare con i grafici abbiamo visto che occorre ricorrere a importanti concetti e proprietà dell'aritmetica.

A LIVELLO ADULTO ci possiamo infine chiedere se i numeri razionali bastano per rappresentare tutti i punti del piano con coppie di numeri. La risposta è NO già sugli assi (nel senso che i numeri razionali non sono sufficienti per descrivere TUTTI i punti degli assi): riportando la diagonale del quadrato di lunghezza 1 sull'asse delle ascisse si trova un punto che sappiamo non può essere scritto come frazione (la dimostrazione di ciò risale agli albori della geometria greca, ai tempi di Pitagora). OCCORRONO ANCHE ALTRI NUMERI, come la radice quadrata di 2 o þ, che si chiamano "numeri irrazionali".