Il gruppo di Cristina, Francesco e Michele ha lavorato sulla prima parte della prima scheda e adesso passa ad affrontare il problema di determinare come evolve nel tempo il numero di alberi:

“La compagnia per la quale avete lavorato ha un altro bosco che quest’anno ha 1000 alberi. Ogni anno taglia il 20% degli alberi del bosco e ne pianta 50. Quanti alberi ci saranno tra vent’anni? Il numero d’alberi tende ad aumentare con il passare degli anni, oppure a diminuire o a stabilizzarsi?  (confrontare scheda 1)

MIC legge il testo e intanto ragiona ad alta voce sulla soluzione, tutto questo viene fatto molto velocemente e provoca le lamentele di FRANC che non riesce a capire ma non vuole restare indietro. MIC quindi continua e ogni tanto si ferma aspettando di sentire, a conferma che FRANC sta seguendo, la voce del compagno ripetere il ragionamento.

FRANC osserva che se ogni anno vengono tagliati il 20% degli alberi  di un bosco di 1000 esemplari e la ripopolazione si limita a 50 alberi, essa è irrisoria: “ Sono niente a confronto.”

Intanto MIC scrive in silenzio.

FRANC: “ Cosa stai scrivendo?”

MIC dice che sta facendo i calcoli. ( Ogni volta prendono nota del valore del 20% e del n° di alberi che si trovano nel bosco nell’anno corrispondente.)

In questo caso la calcolatrice non riveste un ruolo essenziale per la comunicazione, infatti, MIC esegue i calcoli e prende nota dei risultati in silenzio, senza rendere partecipi gli altri di quanto ottenuto. Si può dire che la calcolatrice viene utilizzata come strumento di raccolta dati (e quindi di esplorazione) da chi sta conducendo la strategia risolutiva, ossia da MIC. Gli altri due componenti del gruppo seguono l’iniziativa di MIC (FRANC in modo più partecipe, dimostrato dai tentativi che fa per comprendere, dalle richieste di spiegazione che fa a MIC e dalle proposte di strategie risolutive che, però, sono più  che altro idee che sottopone a MIC per vedere se i suoi ragionamenti sono in sintonia con quelli del compagno; CRIS, invece, segue in modo molto più passivo).

FRANC pensa di calcolare il 20% del 2° anno e di moltiplicarlo per 20, perché così “il risultato non cambia ma si fa prima.”

MIC: “ No, perché il 20% cambia ogni volta ! E quindi devi fare il calcolo 20 volte e ogni volta con cifre diverse.”

CRIS: “ Devo scrivere tutto, allora dai dettate.”

MIC: “ Per me c’è una cosa costante.”

FRANC: “ Per me c’è una regola, se no rifarlo 20 volte !”

Chiamano il professore.

MIC: “ Non c’è qualcosa di costante, magari che basta trovare il rapporto?”

PROF: “ Ragionaci.”

Continuano a fare i conti, ma si annoiano, sono convinti dell’esistenza di un metodo più veloce.

MIC: “ Gli alberi stanno scendendo.”

FRANC: “ Secondo me al 20°anno non ce ne sono più.”

MIC: “ Pian piano il 20% diminuisce ogni volta.”

FRANC: “ Diventa 0.”

MIC: “ No, perché devi sempre aggiungere 50.”

FRANC: “ Allora il risultato è 50.”

MIC: “ E’ che alla fine arriverà che il 20% è 20, più 50. Guarda i calcoli ( e mostra la calcolatrice) diminuisce di colpo e poi risale.”

La funzione di chiarimento è attivata dall’osservazione dei risultati forniti dalla calcolatrice, che diventa strumento di esplorazione, scoperta e di socializzazione, uno strumento a cui porre domande, per ottenere suggerimenti sulla strategia da seguire. Sembra quasi che divenga un nuovo elemento del gruppo, con il quale però non è così semplice comunicare, perché ha un linguaggio proprio, diverso da quello naturale e a volte anche da quello algebrico. A ciò sarà legato nel seguito il problema della rappresentazione del 20%. Si noti inoltre come i calcoli eseguiti con la calcolatrice egli output che essa offre diano al dialogo una forma dinamica, sia per cose osservate (“stanno scendendo”, “diminuisce”), sia per quelle previste (“alla fine arriverà”, “diminuisce e poi risale”).

Sembra quasi che sullo schermo della calcolatrice  venga prodotto un filmato che gli studenti raccontano con strutture tipiche della narrazione.

Intanto ritorna il professore: “Allora?”

MIC: “ All’inizio calano di tanto perché il 20% è sempre maggiore di 50, alla fine la cifra diminuisce, allora il 20% è minore di 50, quindi risalgono.”

FRANC: “ E’ come una bilancia, che man mano…” ( intanto con le mani mima l’ andamento della bilancia.)

Quella della bilancia è una metafora suggerita dall’esplorazione, di carattere fortemente percettivo. Tra l’altro si parla della bilancia non all’equilibrio, ma nell’atto di raggiungere l’equilibrio e quindi è una metafora di carattere dinamico, che evidenzia una tendenza dell’evoluzione verso uno stato finale. Come si vedrà in seguito, anche (ma non solo) attraverso l’uso che ne fa l’insegnante nei suoi interventi, questa metafora porta gli studenti a proporre strategie risolutive.

MIC: “ dovrebbe essere una cosa che continua ad oscillare e che man mano è sempre meno.”

FRANC: “ E fare un grafico?”

Si noti come MIC si inserisca immediatamente sull’immagine di FRANC e come l’inserimento del compagno (che avvalora l’idea di FRANC) consenta a FRANC di intravedere la possibilità un nuovo metodo risolutivo: il passaggio al frame “grafici”. In questo momento la comunicazione tra MIC e FRANC è forte: gli studenti sono in sintonia e la metafora della bilancia, condivisa (e suggerita dall’esplorazione eseguita con la calcolatrice) ne è la conferma.  CRIS invece rimane ai margini della comunicazione, probabilmente a causa della sua partecipazione passiva (sembra che abbia preso la funzione che deve svolgere, quella della memoria del gruppo, in senso troppo letterale: è come un cronista che trascrive ciò che accade cercando di non partecipare ai fatti che osserva)

CRIS: “ Cosa devo scrivere?”

FRANC: “ Che stiamo ragionando su due aspetti: uno è quello della metafora con la bilancia…” Viene interrotto da MIC.

MIC: “ Allora scende, risale, poi riscende, ma come fa fra 20 anni?”

FRANC cerca ancora un modo per abbreviare i calcoli: suggerisce di togliere il 20% da 50, insiste, ma il suo compagno non si lascia influenzare e continua a cercare di convincerlo che il 20% è diverso ogni volta.Il professore conferma l’ idea di MIC.

MIC: “ Non si potrebbe fare con la tabella ed elaborare il grafico con x, y, perché se tu, ma non so se il 20% si può rappresentare, non avete la calcolatrice?”

CRIS la prende e mentre MIC continua a lavorare con la sua FRANC si impadronisce di quella di CRIS.

MIC: “ Non so come si rappresenta il 20% !”

Chiamano il professore e glielo chiedono.

PROF: “ In questo caso il grafico non è semplice.”

MIC: “ Bisognerebbe dargli la partenza, quanto si aggiunge ogni volta…”

PROF: “ Non sappiamo disegnare il grafico, ma la relazione si può esprimere in linguaggio matematico, prima fatelo verbalmente, e così abbiamo già un bel lavoro.”

Operazione in zona di sviluppo prossimale: si cerca di condurre gli studenti alla generalizzazione e allo sviluppo del linguaggio algebrico, cose con le quali hanno ancora difficoltà a rapportarsi. Si tratta, però, anche di uno stpo imposto dall’esterno alle idee di MIC: forse stava pensando a come impostare una sorta di foglio elettronico in modo da generare, “dandogli al partenza”, una tabella di valori da riportare su un grafico x , y.

Provano: “ Ogni volta si toglie il 20% e si aggiunge 50.”

CRIS: “ n + 50”

FRANC: “ n ­ 20%….”

MIC : “ ( n ­ 20%) + 50. ”

L’ evoluzione del pensiero, a partire dal suggerimento del professore, si manifesta con la messa in formula, che consente di produrre un segno sintetico e generalizzato. Si noti che con il simbolo 20% i ragazzi sottintendono 0,2n.

FRANC : “ Come si fa a fare la percentuale ?”

Chiamano il professore.

MIC spiega la formula e conclude: “ Così trovo n’ e da questo trovo n”.”

PROF: “ Allora, qui non posso esprimere come facciamo di solito la y in funzione della x, perché ogni valore dipende dal precedente.”

Il gruppo continua l’ esperienza iniziata ieri, riprendendo i calcoli relativi al 2° problema.

Arriva il professore: “ Ieri era rimasto in sospeso un discorso su questo problema ed avevate avuto delle idee su che cosa poteva accadere dopo 20 anni.”

FRANC : “ Dopo 20 anni dovrebbe finire.”

PROF: “ Come avete ragionato?”

MIC: “ Che praticamente il 20% è sempre maggiore di 50 alberi che ripiantano, quindi scende, poi pian piano il 20% è meno dei 50, quindi risale , poi riscende….”

FRANC: “ Oscilla.”

L’ intervento del professore stimola l’ attivazione della funzione contrattuale e di quella di ricordo.

PROF: “ Quindi c’ è un momento nel quale il 20% diventa più piccolo di 50, ma questo lo avete verificato?”

MIC: “ Continua a scendere, quindi in teoria dovrebbe, è un’ ipotesi, bisogna dimostrarlo.”

PROF: “ Provate a pensare se funziona oppure se può succedere qualcosa di diverso.”

MIC: “ Magari si ferma  50 e poi risale.”

PROF: “ Perché?”

MIC: “ Si può bloccare in teoria, se il 20% diventa 50 preciso, allora il risultato resta sempre uguale.”

FRANC: “ Sì, perché lo togli e poi lo aggiungi.”

Anche in questo caso si può osservare una sorta di equilibrio dinamico (“togli e aggiungi”) probabilmente indotto dall’esplorazione con la calcolatrice.

MIC continua i calcoli.

In questo caso la calcolatrice è utilizzata non più come strumento di esplorazione, ma come strumento di validazione. Ora la congettura (o le possibili congetture) sono state formulate: si tratta di confermarle e confutarle. Non è più come prima dove venivano raccolti dati per osevare regolarità che potessero portare alla produzione di congetture. Io ruolo dello strumento quindi cambia.

CRIS: “ Non puoi scrivere solo il risultato?”

MIC: “ No, voglio anche il procedimento, così ho anche il 20%”.

MIC vuole avere sotto controllo tutto il processo: il risultato finale è infatti determinato da una differenza (tra il valore attuale e il suo 20%) e da una somma (tra 50 e il valore precedentemente determinato). MIC sembra ritenere importante, per la comprensione dell’evoluzione e per la validazione della congettura l’evoluzione del 20% .

MIC: “ 263,513 alberi fra 20 anni e la cifra del 20% si avvicina sempre più a 50”.

La calcolatrice è utilizzata come strumento di esplorazione e di validazione.

Chiamano il professore e MIC riespone l’idea dell’uguaglianza fra 50 e 20%.

PROF: “ Come si fa a capire se succede una cosa così?”

MIC: “ Con la calcolatrice, con un grafico”.

Riprese le situazioni di riferimento proprie del grafico e l’ idea che alla calcolatrice possano essere fatte delle domande ben precise con la possibilità di ottenere risposte risolutive.

PROF: “ Con il grafico non è così semplice, abbiamo detto”.

FRANC: “ Si continua”.

PROF: “ Ma magari si ferma dopo 10.000 volte”.

Azione in zona di sviluppo prossimale: i numeri non sono strumenti dimostrativi, servono solo per esplorare, per giustificare un’ affermazione, ma non le conferiscono validità generale. Lo scopo di tale intervento è di cercare di far familiarizzare i ragazzi col linguaggio ed il pensiero matematico, che sono i maggiori supporti dell’ attività dimostrativa. Il suggerimento viene subito colto e produce un cambiamento di strategia.

FRANC: “ Potrebbe esserci una legge”.

Riprendono quella individuata ieri.

MIC: “ Da n troviamo n’ .” ­ “ Magari con la Delta List della calcolatrice troviamo un rapporto”.

Parla usando molto bene i termini propri della macchina. Delta List è una funzione predefinita che consente di calcolare le differenze prime di una succesisone di valori. La calcolatrice è di nuovo pensata come strumento di esplorazione (questa volta per la determinazione della legge e non del numero finale).

FRANC usa di nuovo la calcolatrice di CRIS, che non sa comunque adoperarla. MIC è quello che utilizza meglio sia i termini tecnici peculiari della macchina, che la macchina stessa.

Chiedono al professore se la strada intrapresa è proficua.

PROF: “ Cosa ti dà la Delta List? Se tu hai che la differenza rimane costante abbiamo detto che la legge è lineare: se incrementi costantemente la variabile indipendente x, 1,2,3,4…e trovi che in corrispondenza di quei valori le differenze della variabile dipendente y sono costanti allora la legge è lineare. Qui hai delle differenze costanti? Provate a farlo e vedrete che non vale.”

Si arrendono e continuano con i calcoli.

FRANC fa le percentuali e MIC le differenze.

MIC si accorge che la calcolatrice inizia ad approssimare i calcoli, questo lo disturba perché desidera un risultato preciso. Fatta questa scoperta, ne fa partecipi anche i compagni, porgendo loro la macchina e spiegando l’ accaduto.

La calcolatrice diventa strumento di comunicazione. Gli output forniti stupiscono, perché smentiscono la totale fiducia che i ragazzi in genere hanno nella macchina,che agli occhi di MIC non risulta essere più così affidabile.

FRANC: “ Ci stiamo comunque avvicinando.”

Quando arriva il professore, chiedono spiegazione del comportamento della macchina.

PROF: “ Quante cifre volete dopo la virgola?”.

MIC: “ Noi lo vogliamo preciso”

PROF: “ Ma se approssima sulla quarta cifra, sbaglia comunque di poco se si considerano dopo la virgola 3 cifre significative”.

Continuano i conti.

FRANC: “ Si comincia ad alzare negli ultimi decimali”.

MIC: “ No sta scendendo, non centrano i decimali”.

FRANC: “ Rimane 252 sempre e comunque”.

MIC non è d’ accordo.

Questa è la dimostrazione che , mentre per FRANC molte prove numeriche possono costituire una sorta di validazione di un risultato e condurre ad una determinata tesi, per MIC, che pensa in modo più algebrico, non bastano.

Non stanno segnando i vari risultati ottenuti.

MIC: “ Ci siamo”.

Si rendono conto che anche il numero degli alberi decresce, ma molto lentamente: ci vogliono molti passaggi per giungere da 252 a 251 e poi a 250.

FRANC: “ Si sta quasi fermando, siamo a 50.01, allora è finita!”

MIC: “ No, non è detto. Se provi a fare 250 secondo me viene giusto”

Prova.

MIC: “ La calcolatrice con questo valore non approssima più, da qui in poi rimane uguale”.

Ancora la calcolatrice come strumento di validazione.

PROF: “ Come vedete tende a questo valore”.

MIC: “ Si blocca e rimane uguale”.

Questa immagine statica, selezionata da un flusso di varie immagini dinamiche (oscilla, sale e scende, come una bilancia …) è il punto di arrivo: la risposta che afferma che il numero di alberi tende a 250. Si noti che i ragazzi non si pongono più il problema di quanti anni ( e se esista un numero finito di anni perché ciò accada) ci vogliano per raggiungere 250. Sanno che se tale valore viene raggiunto, allora il numero di alberi non evolve più.