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PIANO
DI LAVORO ARTICOLATO PER APPRENDIMENTI DISCIPLINARI MATEMATICA
Obiettivi
prioritari: - aumento dell'autonomia nel lavoro sui problemi aritmetici a più operazioni (a fine anno nelle verifiche sui problemi standard
a più operazioni in
media il 75% dei bambini dimostra
di aver raggiunto un buon livello di autonomia nelle prove di verifica;
si tratta di una percentuale
soddisfacente, però molto lontana
dai risultati raggiunti sui problemi ad una operazione -
percentuali prossime al 95% di risultati positivi a fine V!) - completamento del lavoro sulle tecniche di calcolo scritto delle operazioni, con moltiplicazione e divisione tra numeri decimali (quasi l'85%
di successo nelle verifiche di fine anno) - sviluppo del calcolo mentale esatto ed approccio al calcolo mentale approssimato (oltre l'80%
dei bambini sanno calcolare a mente
271+ 42 e 21x8 ; oltre il 75% sanno rispondere correttamente alla
domanda 3 della verifica finale N.3 di pag. M.84) - riconoscimento
di frazioni come operatori in situazioni reali, e
familiarizzazione con
il fatto che 0,25 ; 1/4
; 25% sono forme espressive che individuano
lo stesso numero; ordinamento di numeri scritti in forma decimale e in forma di frazioni (nel caso
di semplici frazioni) (nelle classi in cui queste abilità
sono state sottoposte a verifica si trova una percentuale di bambini abbastanza
"sicuri" superiore,
in media, al 70%; occorre rilevare che si tratta di abilità
che dovranno trovare ulteriori sviluppi nella scuola media - nei
programmi della scuola media è esplicitamente prevista la
trattazione delle frazioni come operatori e come rapporti, e la
rappresentazione dei numeri decimali
sulla retta graduata). - completamento del lavoro sulle aree, con il metodo della triangolazione e la sua applicazione al calcolo di aree di figure ridotte in scala e di figure "geometriche " di uso comune; approccio al concetto di volume (per le aree,
in media quasi l'80% di successo nella verifica finale
N.4, pag. M.84) - padronanza dei significati logici delle congiunzioni "e" ed "o" e degli articoli (oltre 65%
di riscontri positivi nel lavoro di fine anno, nelle classi in cui
questa attività è stata svolta) - costruzione e lettura di rappresentazioni varie (verbali, e mediante grafi di flusso) di processi che includono controlli (per la verbalizzazione,
oltre 80% di testi soddisfacenti per
la verifica finale
N.5 , pag. M84, e per
altre verifiche svolte dal 1991 in poi e riguardanti , ad esempio,
l'attraversamento di una strada regolato da un semaforo) - completamento del lavoro sulla lettura e la costruzione di grafici e tabelle; approccio all'uso delle percentuali per analizzare distribuzioni di dati e ripartizioni (per le percentuali,
i problemi sui confronti della composizione delle tavolette di cioccolato
sono svolti con sufficiente autonomia, già nei primi mesi
della V, da oltre il 65% dei bambini) - approccio
alle definizioni di probabilità e di frequenza, individuando
(su base empirica) la relazione che sussiste tra le due definizioni
(tenuto conto delle sperimentazioni molto parziali finora effettuate,
non è possibile dare una indicazione precisa sugli esiti
).
Linee di lavoro ed indicazioni
operative specifiche Per quanto riguarda i problemi aritmetici complessi, argomento sul quale si registrano percentuali di successo prossime al 75% che (è bene ripeterlo!) pur essendo molto superiori a quelle ottenute nelle classi "tradizionali" sono ancora largamente insoddisfacenti, sono state collaudate negli scorsi anni tre linee di intervento che sembrano produrre risultati promettenti: - fare partecipare i bambini, dall'interno, alla costruzione dei problemi complessi (ciò si realizza in particolare nelle attività sui "confronti di prestazioni": i bambini devono individuare i dati da richiedere, e organizzare i calcoli attraverso un progetto a grandi linee, da applicare ai dati una volta che saranno reperiti; acquisiti i dati, occorre rivedere il progetto in quanto alcuni dei dati non sono forniti nel modo previsto - ad esempio, la paga del camionista non è espressa per "ore di lavoro", ma al mese, e quindi occorre tener conto delle ore lavorate alla settimana ecc. ecc.; occorre poi confrontare i risultati e le strategie adottate per ottenerli) (vedi Linee Metodologiche, pag.
p51, e il
prospetto a pag.
p50); - utilizzare ambiti significativi per lavorare su una serie di problemi complessi che presentano analogie e differenze strutturali (vedi problemi della scheda 5 di "Rivoluzione industriale":, pag. M54), in modo da sollecitare la padronanza complessiva delle strategie risolutive complesse - confrontare attivamente strategie risolutive
di problemi (in particolare per i problemi di calcolo di aree di figure scomponibili in vari modi in triangoli e rettangoli),
in modo da incoraggiare i bambini a progettare le loro risoluzioni
in direzioni diverse ("confronto attivo di strategie" significa
che i bambini devono riconoscere analogie e differenze tra la loro
strategia e quella di un compagno, e poi devono - se diversa- percorrere
la strategia del compagno con dati numerici diversi,
o interpretare a parole una strategia presentata attraverso dei calcoli,
o eseguire i calcoli relativi ad una strategia presentata a parole,
o utilizzare un disegno per costruirci su una strategia di calcolo
dell'area.... ).
Per quanto riguarda il calcolo scritto
delle operazioni, in V si tratta di estendere ai numeri decimali le
tecniche di calcolo scritto della moltiplicazione e della divisione.
Se si vuole realizzare ciò in modo che i bambini capiscano
quello che fanno, una possibilità è la seguente (schematizzata
in termini molto sintetici): - attraverso il calcolo delle aree (e l'uso della carta millimetrata) i bambini si rendono conto che " due decimi per tre decimi" fa "6 centesimi" , ed allo stesso modo imparano a eseguire 2 x 0,3 ; e quindi 2,1 x 0,3 (come 0,1x0,3 + 2x0,3) ; e quindi 2,1x4,3 (come 2,1x0,3 + 2,1x4) . Sempre attraverso le aree e l'uso della carta millimetrata si rendono conto che "due decimi per tre centesimi" fa "sei millesimi" , e così possono imparare a calcolare: 2x0,03 ; e quindi 2,1 x 0,03 ; e quindi 2,1x4,32 A questo punto si può generalizzare il sistema di calcolo a un prodotto di due numeri decimali qualunque (si noti che con questo approccio non è necessario "spostare la virgola", ecc. ) - per il passaggio alla divisione tra numeri decimali (ed alla divisione tra numeri interi calcolata fino ai valori decimali) si può partire da idee e proposte che gli stessi bambini formulano : " se devo calcolare 72,5 : 3,4 guardo quante decine di volte 3,4 sta in 72,5, e poi quante volte 3,4 sta nel resto ......" "dopo che abbiamo visto quante volte il divisore sta nel resto, se non ci sta più nessuna volta intera potremmo vedere quanti decimi di volta ci sta ......" Anche in questo caso, l'approccio ora illustrato consente di trattare la divisione tra numeri decimali come estensione molto naturale della divisione tra interi affrontata in III ed in IV (evitando quegli spostamenti di virgole che per i bambini risultano incomprensibili, e oltre a tutto fonte di innumerevoli errori ! ) . Su questo itinerario didattico si riporta
la comunicazione tenuta da Teresa Gazzolo e Carmen Rubini al Convegno
Intergruppi Scuola dell'Obbligo di Salsomaggiore (1994), vedi Linee
Metodologiche, pag. p72.
Per le operazioni di moltiplicazione e divisione con i numeri decimali, si raccomanda di posticipare il più possibile (o evitare) l'uso di tecniche formali che non consentono il controllo del significato di quello che si sta facendo (vedi pag. p79)
Per quanto riguarda l'eventuale transizione alla tecnica latina, sarebbe meglio evitare di perdere tempo a fare ciò (limitandosi a presentare agli insegnanti di matematica della scuola media una spiegazione sintetica del lavoro fatto con la tecnica della divisione "araba" - o "siciliana", o "Nuffield" che dir si voglia, accompagnata da un esempio scritto molto chiaro); comunque c'è anche la possibilità (una volta consolidata a sufficienza la tecnica di calcolo scritto della divisione tra numeri decimali ) di mostrare qualche esempio di calcolo scritto della divisione eseguito con la tecnica "latina", chiarendo ai bambini che la differenza essenziale nello scrivere il calcolo è quella di "abbassare" oppure no tutte le cifre del dividendo fin dall'inizio (vedi pag. p81).
Per
quanto riguarda il calcolo a mente,
deve proseguire (con il solito metodo del risultato scritto dal bambino
sulla lavagnetta e poi mostrato all'insegnante nel momento in cui
lo chiede, ed eventuale esposizione da parte del bambino della strategia
seguita) il lavoro sul calcolo di addizioni e moltiplicazioni (fino
al livello massimo di difficoltà 1894 + 67
e di 25x41). Dovrebbe
essere anche svolto a sufficienza il calcolo mentale approssimato
delle moltiplicazioni: "stabilire
quanto fa approssimativamente
38 x 52 " (con calcolo di
40x50 e poi scoperta che il valore approssimato 2000 differisce di
pochissimo dal risultato
esatto 1976, e insieme scoperta che nelle moltiplicazioni a mente
un buon criterio di approssimazione può essere quello di aumentare
un fattore e diminuire l'altro). Il lavoro sul calcolo approssimato
può essere utile per trattare l'argomento "errore assoluto
ed errore relativo ", che peraltro può essere anche collegato
efficacemente con il lavoro sul calcolo delle aree delle zone geografiche
mediante triangolazione (vedi Documentazione,
pag. 57)
Per le frazioni, è importante che i bambini sappiano riconoscere le frazioni come "operatori" su grandezze (tre quarti di ....) e comincino a riconoscere frazioni equivalenti (vedi Documentazione, pag. 63). Nelle pagine ora citate si vede anche come i bambini gradualmente possono familiarizzarsi con il fatto che la frazione 1/4, il numero decimale 0,25 e la percentuale 25% sono modi equivalenti per indicare lo stesso numero. Può essere opportuno qualche esercizio di rinforzo in ambiti diversi (vedi esempi a pag. p82).
Per quanto riguarda le aree, dopo la trattazione dell'area del triangolo è possibile immediatamente passare al calcolo dell'area di figure scomponibili in triangoli, per poi calcolare le aree di zone geografiche rappresentate in scala (attività ben motivata dall'esigenza di valutare le estensioni delle regioni del globo colonizzate dagli Stati europei...... A proposito del calcolo delle aree di figure in scala, è opportuno guidare i bambini ad effettuare tale calcolo secondo la seguente traccia:
- scomposizione in triangoli, costruzione di una altezza di ogni triangolo; - misure in scala delle basi e delle altezza dei triangoli; - trasformazione delle misure in km; -
calcolo dell'area in km2.
E' meglio evitare invece il calcolo dell'area della figura disegnata (in scala), in quanto non è facile fare comprendere ai bambini perchè una volta ottenuta l'area in cm2 della figura è necessario (per ottenere l'area della figura reale) moltiplicare tale area per il quadrato della scala (e non per la scala !). Il lavoro sulle aree si può concludere chiedendo ai bambini di trovare strategie per il calcolo delle aree delle "figure geometriche" più comuni ed importanti (parallelogrammo, trapezio, rombo,...), e di esprimere tali strategie con delle formule (vedi a pag..54).
Per
il volume basta un approccio
diretto al concetto di volume e al suo calcolo per alcune figure solide
comuni e importanti (parallelepipedo, cilindro) (vedi a pag.76).
Per quanto riguarda il lavoro in ambito logico, tenuto conto del testo dei programmi di "Logica" (vedi parte iniziale) esso va strettamente coordinato con le attività di riflessione linguistica (sulle congiunzioni "e" ed "o" e sugli articoli) e di verbalizzazione e schematizzazione con grafi di processi con controlli. Gli ambiti in cui svolgere tali attività possono essere molteplici: -
per le congiunzioni "e" ed "o", si possono sfruttare
situazioni di lavoro con le calcolatrici o situazioni di classificazione
(ad esempio in ambito geografico): "per ottenere il risultato
di questo calcolo si può premere
la sequenza di tasti...o....."; "nelle zone
calde ed umide ....."
"..... vive nelle zone calde e secche , o
anche in zone temperate,
purchè ....." - per gli articoli, in ambito scientifico si trova: "una pianta di cacao può produrre ...." ; "la pianta del cacao vive nelle zone ...." ; "la pianta del cacao raffigurata nella scheda....." ; in storia, "il soldato spagnolo veniva considerato ..." , "il soldato spagnolo che vide ...." "un soldato spagnolo si sentiva il diritto di.... " "un soldato spagnolo scrisse questo resoconto....": si può cogliere così l'estrema varietà di significati e sfumature nell'uso degli articoli nella lingua italiana - per le verbalizzazioni e le rappresentazioni grafiche di processi con controlli, sono particolarmente ricche di potenzialità le attività sulle calcolatrici (vedi da pag. 97), oltre alle attività sulla produzione del cioccolato.
Per
quanto riguarda il lavoro di statistica,
in V i bambini dovrebbero imparare gradualmente ad utilizzare le percentuali
per confrontare distribuzioni di dati e ripartizioni; le situazioni
problematiche tipiche hanno questa struttura : -
"la tavoletta del cioccolato X da 200 g contiene il
49% di cacao; la tavoletta del cioccolato Y da 300 g contiene il 35% di cacao; quale delle due tavolette
contiene la maggiore quantità di cacao?" -
"In Brasile la popolazione nera è del 32%, in Sudafrica
è del 67%;come si fa a stabilire se ci sono più
neri in Brasile o in Sudafrica?"
-
"Dalla Liguria emigrarono, tra il 1850 ed il 1900,
...........abitanti su una popolazione di circa ............; nello stesso periodo dalla
Sicilia emigrarono .........
abitanti su una popolazione di circa.................; da quale delle due regioni emigrò la più
elevata percentuale di abitanti ?"
(si noti tuttavia che il lavoro sulle percentuali non si esaurisce nella scuola elementare !).
A proposito di "percentuale", "sconto", ecc. è bene evitare di proporre problemi fittizi (vedi in proposito pag. p83), insistendo invece sulla costruzione e sull'approfondimento dei significati in situazioni che possono permettere ai bambini di "fissare" e "controllare" tali significati. I bambini dovrebbero anche essere ormai in grado di leggere e costruire con una certa autonomia tabelle e grafici (in "Emigrazione", nel lavoro sul cacao, nel lavoro sulla colonizzazione ....); in particolare, per i grafici dovrebbero riuscire a scegliere opportunamente le unità di misura sugli assi in modo da utilizzare bene lo spazio a disposizione in relazione ai dati da rappresentare (vedi esempio a pag. 28). Per la probabilità, non è opportuno trattare l'argomento in V se non si sono già svolte attività nelle classi precedenti, in quanto si tratta di un argomento delicato su cui sono frequenti misconcetti. Nel caso si sia già lavorato negli anni precedenti sulla previsione a priori del "grado di probabilità" di eventi e sul confronto con quello che accade realmente in una serie di prove, si può (come suggeriscono i programmi) introdurre la definizione classica di probabilità di un evento come "rapporto tra numero dei casi favorevoli e numero dei casi possibili, in situazione di equiprobabilità dei casi possibili" e la definizione di frequenza di un evento come "rapporto tra il numero dei successi ed il numero della prove in una serie di prove", e si può far rilevare sperimentalmente ai bambini che, se le condizioni di effettuazione della prova non cambiano, la valutazione della probabilità "a priori" e il comportamento della frequenza in una serie molto numerosa di prove sono in genere abbastanza prossimi. Si consiglia, se non la si è già utilizzata negli anni precedenti, di prendere in considerazione l'estrazione a sorte dei bambini per il calcolo a mente: su un tabellone via via vengono registrati i nomi dei bambini estratti a sorte per rispondere alla domanda su "quanto fa (ad esempio) 21x30". Si nota, al passare dei giorni (una trentina di estrazioni al giorno), che inizialmente la distribuzione delle chiamate a sorte è molto irregolare (alcuni bambini sono già stati estratti a sorte due-tre volte, quando altri non sono stati ancora estratti nemmeno una volta!), poi a poco a poco le righe delle crocette tendono ad avere lunghezze non troppo diverse tra loro (ad esempio in una classe di 15 bambini dopo 50 giorni di estrazioni, cioè dopo 50x30=1500 estrazioni, i bambini sono tutti stati estratti un numero di volte compreso tra 90 e 110, cioè vicino alla "probabilità teorica" 1/15 )
Il lavoro matematico nella classe V deve avere la caratteristica di sviluppare considerazioni teoriche, riflessioni e approfondimenti sui concetti matematici che intervengono nell'attività che si sta svolgendo per giungere a prime generalizzazioni. Nella sezione relativa alla documentazione delle unità Didattiche, molteplici sono gli esempi di gestione del lavoro in questo senso (partire da un'attività matematica necessaria per affrontare un problema matematico inserito nel contesto di una unità didattica; sviluppare considerazioni teoriche, riflessioni, ..., sui concetti matematici che intervengono in tale attività; ritornare a situazioni problematiche inserite nelle unità didattiche per applicarvi gli strumenti teorici così sviluppati), come da prospetto che segue:
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