C1...per l'insegnante

Si chiede di ripetere la costruzione della bisettrice che di solito i ragazzi già conoscono dalla scuola media o hanno già rivisto nel corso di disegno.

Dato un angolo di vertice O, con apertura di compasso a piacere si traccia una circonferenza di centro O; A e B sono le intersezioni di tale circonferenza con i lati dell'angolo. Con apertura a piacere si punti prima in A e poi in B e si traccino due circonferenze di uguale raggio e siano P e Q i punti di intersezione di tali circonferenze. Nel caso rappresentato in figura  le due circonferenze sono ottenute una volta puntando in A con raggio AB e una volta puntando in B con raggio BA: in generale, si richiede solo che le due circonferenze abbiano raggi uguali e naturalmente che si intersechino. Il terzo criterio di uguaglianza applicato ai triangoli OAP e OBP permette di dedurre che la retta OP dimezza l'angolo dato. Anche la retta OQ dimezza l'angolo dato, ma dimostrare che OPQ sono allineati risulta un punto piuttosto delicato; in effetti, possiamo prendere questa affermazione come evidente, ponendo l'unicità della bisettrice come assioma.

Per questa attività è necessario mettersi d'accordo su una definizione di bisettrice, tenuto conto delle conoscenze che i ragazzi già hanno in proposito. E' bene che l'attività sia preceduta da una discussione volta a definire il concetto di bisettrice e ad uniformare le conoscenze degli allievi riguardo alla possibilità di costruire con riga e compasso la bisettrice di un angolo assegnato. Conviene soffermarsi sulla definizione di bisettrice come semiretta che "divide l'angolo a metà", ovvero in modo che i due angoli che vengono a formarsi siano uguali. Naturalmente si considera solo il caso dell'angolo convesso; può essere opportuno farlo osservare ai ragazzi, eventualmente dando la definizione di angolo convesso. In generale, però, sarà bene non eccedere nelle definizioni, soprattutto nel caso che non si abbia occasione di utilizzarle ancora ed in modo significativo. Del resto, si dovrà comunque prevedere un momento di riflessione e di approfondimento del concetto di angolo; la complessità del problema della definizione di angolo suggerisce però di attendere che i ragazzi abbiano afferrato meglio che cosa significa definire in una teoria.

Una delle difficoltà maggiori consiste nel trasformare gli elementi della costruzione in ipotesi per una corretta dimostrazione. Può essere utile ripercorrere insieme ai ragazzi la costruzione, ricordando di sfruttare ciò che si è introdotto sul "quadernino".

Questa attività può seguire lo svolgimento di tutte e tre le attività sui i criteri di uguaglianza, oppure può essere proposta immediatamente dopo la prima attività (terzo criterio); forse può essere meglio non posticiparla troppo, per alternare ad attività di esplorazione e formulazione di assiomi, alcune attività di giustificazione.

Osserviamo, infine, che la definizione di bisettrice, invece che in una discussione preventiva, può essere data implicitamente nel testo dell'attività e può essere ripresa nella successiva discussione. Ciò che è importante è che la definizione di bisettrice sia ben consolidata alla fine dell'attività, insieme con il teorema che stabilisce la sua costruibilità.  

  In questa, come in tutte le unità didattiche, sarà utile prevedere una griglia di catalogazione dei protocolli per meglio gestire la successiva discussione.  

esempio di griglia di catalogazione dei  protocolli

La catalogazione degli elaborati riguarda la giustificazione addotta e può essere fatta tenendo presente gli obiettivi della discussione.

Corretta. Viene data una descrizione della procedura e una giustificazione in base al terzo criterio di uguaglianza.

Scorretta. Si fa riferimento a proprietà evidenti della figura.

Triangolo isoscele: Eseguendo la costruzione classica, si ottengono più triangoli isosceli; la figura più forte dal punto di vista percettivo prende il sopravvento e i ragazzi riconoscono, ad esempio, il triangolo isoscele AOB in figura ed 'applicano' la proprietà ben nota secondo cui l'altezza di un triangolo isoscele è anche bisettrice ...; in sostanza non giustificano, ma constatano la validità della costruzione sulla figura che si forma. Da notare che anche coloro che giustificano correttamente, spesso non resistono alla tentazione di osservare che il triangolo AOB è isoscele.

Rombo: la figura che salta agli occhi è il rombo AOBP (vedi figura); le proprietà che vengono messe in evidenza sono quelle ben note del rombo, ad esempio il fatto che le diagonali si dividano a metà.

Misura: si fa riferimento alla possibilità di misurare gli angoli ottenuti.

Mista: si fa riferimento a certe proprietà evidenti della figura e le si assumono come ipotesi. Di solito si tratta dell'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele o del fatto che le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari ...

Il problema della valutazione