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A2. protocolli 1 I: Ho guardato i vostri foglietti e ho visto 2 Coro: (alzano le mani : Gruppi Lorena- Maurizio - Federico - Luca - Beatrice - Marco) 3 I: Vi farei vedere che in DIVERSI c'è un comando costruzione passo-passo che vi fa vedere cosa avete fatto. Descrizione della costruzione di un quadrato costruito ad occhio Avete preso un punto? 4 Coro: SI 5 I: un altro punto, avete fatto il segmento e lo avete misurato? 6 Coro: SI Ecc. Sempre preciso 7 Simone : sempre preciso gli viene? 8 Giorgio: Sì, perché sposta le cose ... 9 I: Vorrei sapere se questo risulta sempre un quadrato? 10 Simone: Si 11 Giorgio: misure uguali ... 12 I: cioè? parlane ... 13 Giorgio: stesse misure sono, quindi è un quadrato!? 14 I: Stesse misure di cosa? 15 Giorgio: dei lati, i lati hanno la stessa misura quindi è un quadrato 16 I: i lati hanno la stessa misura, ... quindi ... Nessuno ha da obiettare su questa cosa ? 17 Si sente lontano : gli angoli 18 I: Iacopo, urla ... se no non ti si sente 19 Maurizio (accanto a Iacopo): gli angoli ... 20 I: cioè ... 21 Luca: bisogna vedere se ha gli angoli uguali; 22 I: qui si vede? 23 Coro NO, no , misuriamo gli angoli 24 I: Avete scoperto come si misurano gli angoli? 25 Coro: In DIVERSI 26 Iacopo: si prende "segna un angolo" ... lo faccio sul computer 27 I: poi? 28 Iacopo: misura ... lo faccio Coro: eh, eh .. 29 I: Basta così 30 Coro: Si, si, ... Tutti, tutti ... 31 Giorgio: no due bastano, 32 I: Quali due? 33 Iacopo& Maurizio (anche altri): quelli opposti ... 34 Giorgio: No, tutti 35 I: Mettiamoci d'accordo 36 Giorgio: ne bastano tre 36 bis Altri: ne bastano tre 37 Iacopo& Maurizio: ne bastano due ... 38 Giorgio: oh! se ne bastano tre, il quarto deve essere per forza 90° 39 Iacopo: ne bastano due ... Coro: due 40 I: vediamo ... c'è una corrente che dice tre e una che dice due 41 Iacopo: due opposti 42 Giorgio: no ... se uno è di 45° e l'altro 135° 43 I: Chi si butta con due e chi con tre ... Giorgio spiega perché dici tre 44 Giorgio: se è due ... uno può essere 45° e uno 135° 45 I: perché dici 45° e 135°? 46 Giorgio: perché la somma deve fare 180° 47 I: Lui dice che non sono obbligati ad essere 90° e 90° 48 Luca2: con gli altri angoli devono per forza formare un altro angolo di 90° ... 49 I: Allora vediamo un pochino, io non so se ci riuscirò ... Anzi Giorgio puoi venire qui a costruirmi uno di quelli che dici te .. (Giorgio viene alla consolle) 50 Giorgio: Boh ... prendiamo un punto di questo lato ... 51 I:Giorgio disegnalo lì da una parte ... 52 Giorgio: Cosa? 53 I: Uno di quelli che dici te ... 54 Giorgio: beh ... basta ... posso misurare gli angoli qui 55 I: hai detto due possono essere retti e due no ... li puoi disegnare ... 56 Giorgio: si, ho capito ; (ci prova, non ci riesce) un attimino, questo è il trapezio però (Giorgio ha disegnato un trapezio rettangolo) Coro: è uno solo di 90° ... devono essercene due ... 57 I: eccoli qui (indica i due angoli adiacenti). 58 Simone: ha ragione lui (indicando il Giorgio) 59 Iacopo, Maurizio: ma che dici ... due opposti ... 60 Simone: Mosca! Due opposti avete ragione voi ... 61 Coro mah! poveraccio ... se sono opposti .. se non sono opposti ... 62 I: Insomma a che conclusione arrivate? Volete che vi liberi lo schermo e ci provate da voi? e ci ragionate voi quanti ve ne bastano... (Provano. Il gruppo di Ugo - Marco e Luca riescono a disegnare un quadrilatero del tipo "Giorgio" e quando lo fanno vedere a Maurizio e a Iacopo loro dicono che però non tutti i lati sono uguali ... e i Giorgio dice che lui non considerava i lati uguali e quindi e Iacopo e Maurizio sottolineano che si era partiti da lati uguali e quindi bisognava ricordarselo... allora Giorgio dice che nel caso dei lati uguali è d'accordo con loro ... ( Luca si offre di riassumere e riassume ... ci accorgiamo di essere senza corrente) 63 Luca (bis per il registratore): se un quadrato ha tutti i lati ... uguali allora basta misurare solamente due dei due angoli opposti, se invece il quadrilatero ha i lati diversi se ne devono misurare tre. Mentre era andata via la corrente era venuto fuori anche questo che segue. 64 I: e qui ora è venuto fuori un altro tipo di discussione ... 65 Luca: che ne basta uno ... 66 I: C'è Mario (ripetente) che dice che ne basta uno 66 bis Mario: se ci sono tutti i lati uguali, basta misurare un angolo e sapere che è di 90° e secondo me è un quadrato 67 Coro: si, si (mentre non c'era la corrente avevano provato anche questo) 68 I: Sono convinti che ne basta uno anche chi prima diceva due opposti? Federico?(era solo al computer) 69 Federico: si, ne basta uno 70 I: bene allora lo avevamo già misurato ... nella figura di Luca2 e di Simone2 (la prima costruzione "ad occhio" che l'insegnante ha considerato all'inizio della lezione) c'erano tutti i lati uguali, avevamo misurato un angolo e veniva di 90° ... quindi possiamo essere tranquilli che sia un quadrato? 71 Coro Si, si 72 I: O.K. ora vediamo .. (la Prof. vuole muovere la figura) 73 Coro: professoressa ora suona ... anzi è già suonata Luca chiama, mentre provavano da soli, aveva trovato un quadrato con tre angoli di 90° e uno di 89° 74 Luca: però l'ho cancellato 75 I: Se il computer ha misurato tutti gli angoli: tre di 90° e uno di 89° ... è possibile? 76 Giorgio: se gli è venuto... 77 Luca: è il computer marcio 78 Coro: il computer è stupido 79 I: è possibile? 80 Giorgio: e o ... 81 Coro: no, no no 82 I: come mai, quale proprietà ... 83 Luca: perché in un quadrilatero gli angoli addizionati devono formare ... devono avere somma 360° 84 I: allora lui (nel senso di computer e lo indica) in cosa sta sbagliando? 85 Luca: a calcolare la misura dell'angolo ... Rumori 86 I: sbaglia la misura .. ci stiamo fidando che è un quadrato misurando ... ci possiamo fidare ... 87 Coro: no, no con le rette 88 Luca2: con le rette parallele fra loro ... 89 I: prendiamo la figura di Luca2 (riprende lo schermo) guardate cosa succede (muove la figura e questa si deforma perchè è stata costruita "ad occhio") 90 Coro: e che è? 91 I: é un quadrato? 92 Coro: no, no è un quadrilatero 93 I: pensate che questo succeda solo alla figura del Luca2 e del Simone2 o anche agli altri che l'hanno fatta di questo tipo? 94 Coro: cioè? 95 I: se la prendo (indica con il mouse il quadrilatero sullo schermo) e la giro diventa questa cosa qua 96 Luca2: se è fatta con le rette no ... se è fatta con le rette parallele no ... 97 Altri: noi si è fatta con le rette ... 98 I: bene allora vediamo questa (stava prendendo la costruzione mista di Giorgio e Simone, quando è suonata la campanella ) Alla prossima ... L'idea è quella di mostrare una di quelle miste chiedendo di prevedere cosa succederà.
* * * Seconda Lezione 1 I: uno di voi si prende l'incarico di riassumere, visto che è passato un pochino di tempo, quello che avevamo concluso l'altra volta? 2 Luca: in un quadrilatero per sapere se è un quadrato perfetto bisogna misurare ... basta misurare due angoli opposti e se sono di 90° sarà un quadrato perfetto però se i lati non sono uguali c'è da misurarne almeno tre 3 I: O.K., eravamo arrivati a questo? 4 Iacopo: no, se i lati erano uguali bastava misurarne uno 5 I: se erano tutti e quattro uguali? 6 Iacopo: ne bastava uno di 90° 7 I: tutti d'accordo? Poi che avevamo fatto dopo questa discussione? ... Ve lo ricordate? 8 Giorgio: Avevamo cercato un quadrilatero che avesse due lati ... due angoli opposti di 90° e gli altri no ... 9 I: Si quello per concludere questo ... siccome Giorgio diceva che due angoli opposti uguali non andavano bene si era cercata una figura che avesse due angoli opposti di 90° e due no e poi dopo però si era visto che non si intendevano bene i due gruppi perché loro (Iacopo e Maurizio ) stavano parlando di lati uguali, lui (Giorgio) invece non predeva l'ipotesi che i lati fossero uguali e quindi di lì la conclusione: se i lati non sono uguali tre angoli, se sono uguali un angolo. Però io che ho fatto l'altra volta? dopo tutta questa discussione ... non ve lo ricordate? 11 NN: avevamo preso un quadrato e lo avevamo mosso ... 12 I: e che cosa succedeva. Non ve lo ricordate? Lo volete rivedere? Vediamo cosa succedeva... avevamo preso la figura del Luca2 e del Simone2 però siccome vi avevo anche chiesto se sarebbe successa la stessa cosa muovendone un'altra costruita uguale prendiamo quella di Ugo e di Marco... (La metto sul computer mio e di tutti, problemi tecnici ...non si riesce a caricare quella di Ugo & Marco, carica quella di Lorena e di Irene, continuano problemi tecnici, finalmente si riesce WOW. Irene ha chiamato la costruzione mamma e quindi abbiamo dedotto che la mamma di Irene è quadrata!) vedete è simile a quella dell'altra volta solo cambiano le misure dei lati, allora quello che ho fatto alla figura di Luca2 e Simone2 è quello di prendere uno di questi vertici e di spostarlo ... questo programma funziona ... forse ve ne siete accorti ... che se ci si posiziona in vicinanza di un lato, di un vertice spostabile viene fuori una manina che lo prende e se con il mouse si trascina lo deforma ... che ne dite di questa figura? 13 Coro: è un quadrilatero ... con i lati diversi 14 Ventura: con quattro lati diversi ... 15 I: E' un quadrato? 16 Coro No, No no 17 I: O.K. passiamo ad un altro dischetto ... vi farò vedere quello che hanno fatto Mario e Giulio (quella di Mario e Giulio è una costruzione corretta) ... se ci riesco (lo mette nel computer) allora questo è completamente diverso o no? 18 Iacopo: si e noi che abbiamo cancellato tutto ... 19 I: in che senso? avevi fatto cosi? 20 Iacopo: avevo fatto così ... con due rette parallele e poi l'ho cancellato ... 21 I: bene; vorrei sapere le vostre impressioni sulla costruzione di Mario e Giulio 22 Giorgio: hanno fatto la circonferenza, poi due rette perpendicolari ... 23 I: sai da dove sono partiti? 24 Iacopo: si può fare la ricostruzione passo-passo 25 I: facciamo la ricostruzione passo-passo. Hanno preso un segmento, poi hanno fatto la retta perpendicolare in un vertice del segmento, la circonferenza definita per due punti che vuol dire questo: nel menu creazioni voi avete due tipi di circonferenze, una circonferenza ... solo ... e un'altra che ve la chiama "Circonferenza centro - punto" cioè vuol dire che potete specificare il centro e per quale punto volete che passi; quando nella ricostruzione passo-passo lui parla di circonferenza definita da due punto parla di quella centro - punto, quindi loro hanno dato come centro il punto d'incontro tra la retta perpendicolare e il segmento e l'hanno fatta passare per l'altro estremo del segmento ... ecco soffermiamoci un attimo su queste due prime azioni: hanno fatto la retta perpendicolare al segmento e poi la circonferenza ... secondo voi a quale fine? SILENZIO c'è una cosa logica nel fare questo oppure avevano voglia di fare una retta perpendicolare ... una circonferenza ... dicci Beatrice 26 Beatrice: la misura del segmento è uguale alla misura che poi viene riportata dalla circonferenza sulla retta perpendicolare 27 I: praticamente, vuoi dire, che la circonferenza serve per essere sicuri di avere due segmenti uguali consecutivi, quello di partenza e quello sulla perpendicolare ... e la perpendicolare 28 Coro: serve per far venire ... per avere ... un angolo di 90° 29 I: io so che nel quadrato devo avere un angolo di 90° e quattro lati uguali oppure tre angoli uguali ... allora vediamo se ci vengono ... andiamo avanti. Intersezione retta e circonferenza loro (Mario e Giulio) si sono determinati il punto di incontro tra la retta e la circonferenza ... perché gli serviva questo punto? 30 Irene: il punto d'incontro tra la retta ed il segmento .. 31 I: di lì cosa fareste partire? 32 Irene: un segmento perpendicolare alla retta 33 I: oppure? 34 Coro: parallelo al segmento 35 I: vediamo un po' cosa hanno fatto loro ... hanno fatto la retta parallela al segmento di partenza ... ora come lo completereste avendo capito un po' il gioco? 36 Marco: la perpendicolare alla retta parallela .. 37 I: passante per dove? perché se avete capito un po' di questo Cabri bisogna specificare non solo a cosa vogliamo perpendicolare ma anche per quale punto deve passare ... allora per quale punto lo fareste passare? 38 NN: il punto in fondo a destra 39 I: In fondo a destra??? 40 Coro: quello d'incontro tra la circonferenza e il segmento ... 41 I: vediamo se hanno fatto così ... hanno fatto così ... e allora cosa trovereste? 42 Coro: un quadrato 43 I: un quadrato ... però, siccome avete tre vertici, i due del segmento e quello che avete fatto come intersezione tra la retta e la circonferenza ora cosa intersechereste per avere il punto che vi dà il quadrato? 44 Coro: le due rette 45 I: infatti, anche loro hanno fatto intersezione delle due rette ... vediamo cosa succede ora se io prendo il punto ... (lo muove) 46 Coro: è bello ... resta sempre un quadrato ... 47 I: allora cosa c'è di differenza? 48 Marco: i lati si deformano ... 49 I: esatto, in quell'altro si deformano i lati e anche qui, ma ... 50 Simone2: i lati si deformano, ma rimane sempre un quadrato (anche Federico) 51 I: allora posso dire che è un quadrato? 52 Coro: si, si 53 I: posso dire che l'altro è un quadrato? 54 Coro: no 55 I: ma era un quadrato prima che muovessi ... però, non rimane ... allora secondo voi quando si vuole costruire un quadrato di preferisce un quadrato che sia sempre coerente a se stesso anche quando muovo o un quadrato che può diventare qualsiasi cosa? 56 Coro: un quadrato che rimane sempre un quadrato 57 I: ora, secondo voi, qual è la differenza tra le due costruzioni fatte? 58 Luca2: in quell'altro erano tutti segmenti invece qui le rette non possono essere trasformate perché l'intersezione fra due rette non può essere cambiata 59 I: cioè, secondo te è solo un fatto che da una parte hanno usato segmenti e qui invece hanno usato delle rette? ... qualcuno ha opinioni diverse? SILENZIO ripensate alla figura che avevate sullo schermo prima e guardate questa 60 Coro: c'è la circonferenza ... 61 I: poi ? 62 Coro: ci sono le rette 63 I: poi? 64 Coro: ci sono delle rette parallele 65 I: Poi? 66 Coro: intersezione di punti 67 I: di punti?? 68 Coro: di rette 69 I: Oppure anche di ...? 70 Coro: di rette con la circonferenza 71 I: insomma di oggetti geometrici 72 Marco: qui il quadrato è in funzione della circonferenza ... se si sposta la circonferenza si rimpicciolisce 73 I: Marco cerca di esprimerti un po' meglio .. c'è qualcosa ... 74 Marco: Il quadrato e la circonferenza sono uniti insomma! 75 I: sono legati ... io ho determinato il quadrato con l'utilizzo di questa circonferenza quindi io vado a spostare un punto ... siccome a questo punto che c'è legato? ... quale punto ho spostato? Non ho spostato dei punti a caso ... ho spostato gli estremi del segmento ... hanno a che fare con la circonferenza? 76 Coro: si, il raggio ... e il centro 77 I: allora sono due punti strettamente legati alla circonferenza ... quindi quando muovo uno di questi mi porto dietro la circonferenza.. cioè, diminuendo il segmento diminuisco il raggio, diminuisco il raggio rimpicciolisco la circonferenza ... però, cosa faccio? ... se diminuisco il segmento di sotto, mi diminuisce anche ?? 78 Coro: quello parallelo 79 I: ed essendo legati dalla circonferenza ? 80 Coro: tutti 81 I: ma strettamente, quale è quello che diventa subito più piccolo o più grande? 82 Coro: quello parallelo ... 83 Giulio: no, quello perpendicolare 84 I: ce ne sono due perpendicolari 85 Giulio: quello della circonferenza 86 I: e cioè? cosa sono questi due segmenti? 87 Giulio: lati 88 Coro: lati 89 I: Quello che trascino dietro è l'altro raggio, cioè se io ne diminuisco uno diminuisce anche l'altro ... allora, come mai gli vanno dietro anche gli altri due? SILENZIO 90 I: questi perché sono raggi e questi altri ... che trucchetto hanno usato? 91 Maurizio: l'intersezione 92 I: prima di tutto l'intersezione fra la circonferenza e la retta ... che così ci faccio iniziare anche il terzo segmento ... e poi, questo altro segmento non è stato preso a caso ... come è stato preso? ve lo ricordate? 93 Coro: con la parallela 94 I: quindi è legato a questo di sotto? Che proprietà hanno due rette parallele? come le conoscete? 95 Marco: due rette che non si incontrano mai 96 I: oppure? un'altra proprietà delle rette parallele? 97 Irene: che hanno la stessa distanza ... 98 I: quindi ... praticamente ... siccome qua ho fatto in modo che venisse fuori un'altra perpendicolare, se faccio in modo che due lati opposti siano paralleli poi la distanza tra le due rette parallele (la indica) mi rimarrà la stessa ... quindi praticamente cosa c'è qui di diverso da prima? se uno dovesse tirare una conclusione... SILENZIO 99 Giulio: c'è un legame tra tutti i lati ... 100 I: si, ho fatto in modo di legare i lati tra di loro ... cioè, di dargli cosa? con cosa li ho legati? 101 Coro: con le intersezioni 102 I: si, con le intersezioni però anche quelli di Marco e di Luca2 rimanevano legati 103 Coro: le parallele 104 I: le parallele si, ma c'è una cosa fondamentale che se guardo una figura e ne guardo un'altra vi dovrebbe saltare agli occhi ... oltre alla circonferenza, le rette ... ve lo ricordate mentalmente quella di prima? cosa c'era di diverso 105 Simone2: mancava una costruzione ... 106 Luca2 e Giorgio: mancavano le misure ... 107 I: qui mancano le misure ? 108 Coro: si 109 I: O.K. , e che cosa c'è al posto delle misure? 110 Simone2: c'è una costruzione ... 111 I: allora riassumendo quale è la differenza fondamentale tra le due? 112 Irene: che in una la circonferenza è stata tolta ... ed è rimasto solo il quadrato, nell'altra invece c'è 113 I: è stata tolta oppure non c'è stata messa? 114 Coro: è stata tolta ... non è stata messa ... è stata tolta (le voci contrastanti si riferiscono al fatto che qualcuno aveva provato, ma aveva rinunciato, forse non aveva scoperto l'intersezione fra oggetti;) 115 I: Alcuni può darsi che ci abbiano provato e allora, questo vale per tutte le prossime volte, scrivetelo e memorizzatelo ... poi magari ripartite da capo, però fate che rimanga traccia di qualcosa, anche se sbagliata, perché magari non sapete ancora usare bene i comandi ... all'inizio può essere anche un problema di questo tipo ... però lasciatela ... la differenza fondamentale è che in una la costruzione non c'é..., non c'è traccia di costruzione ... cosa è stato fatto ... lo dicano gli autori 116 Irene: un segmento e poi abbiamo preso un altro punto, ma le misure non venivano precise ... 117 I: quindi, praticamente cosa avete usato come controllo? 118 Coro: le misure 119 I: e quindi con le misure ... però, poi dopo se sposto mi varia la misura del segmento e succede un pasticcio ... invece, in questo qui non ho usato le misure, cioè praticamente, non mi sono sistemato i segmenti perché (sistemarsi i segmenti) in parole povere è quello che è stato fatto prima in modo che tutto tornasse ... ma qui ho fatto una 120 Coro: costruzione 121 I: quello che vi ho chiesto all'inizio che cosa è secondo voi una costruzione ... in questo caso è stata fatta una costruzione... cioè, io volevo all'inizio .. o meglio, provate un pochino a descrivermelo voi ... cosa vi ha guidato mentalmente; chi se la sente, oppure lo dica chi l'ha fatto ... Giulio 122 Giulio: facendolo nel modo in cui l'hanno fatta l'Irene e la Lorena si muove, mentre qui la figura viene sempre perfetta anche se si riprova a rifarla 123 I: ma chi ti ha guidato, un angelo custode? 124 Giulio: no, Mario (ripetente) 125 I: allora Mario perché hai fatto così? 126 Mario: perché ... prima ho costruito un segmento poi ho riportato la retta perpendicolare al segmento 127 I: come mai? 128 Mario: perché almeno un angolo fosse già di 90° ... poi dopo perché il segmento di base fosse uguale al segmento qui ho trovato la retta perpendicolare e ho fatto una circonferenza e il raggio della circonferenza ... 129 I: aspetta un attimo Mario, cerco di seguirti al computer (l'intenzione è di farlo vedere a tutti). Hai detto: ho fatto un segmento, poi ho fatto una retta perpendicolare, perché così ero tranquillo di avere un angolo retto, poi ho fatto la circonferenza in modo che ero sicuro di avere una coppia di lati uguali ... poi 130 Mario: poi li ho intersecati e dopo ho fatto una retta parallela 131 I: per quale motivo? 132 Mario: almeno avevo trovato un altro angolo di 90° ...
135 I: almeno ho trovato un altro angolo di 90°... poi dopo ho considerato la retta del segmento di base e ho fatto un'altra perpendicolare e ho trovato un altro angolo di 90° e ho intersecato i due lati ... 136 I: quindi, secondo la nostra definizione di quadrato, ci siamo? 137 Coro: si, si
139 Coro: NO, NO 140 I: niente del genere... oppure che se ho due rette parallele e ne traccio un'altra trovo coppie di angoli uguali (fa il disegno) 141 Coro: Si, si questo si ... 142 I: allora letteralmente, in questo ci si può rivedere questo? perché, qui ho le due rette parallele ... questa qui (c1) è la trasversale; mettiamo un po' di nomi .. vi ricordate come si chiamavano questi angoli? 143 Coro: alterni interni 144 I: quindi avete visto che gli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale sono uguali ... qui nella mia figurina quali sarebbero gli angoli uguali? (i ragazzi li indicano) questi due per esempio sono alterni interni ... ma tutto questo quanto è ? 145 Iacopo: 180° Coro: 180° 146 I: 180°, qui ce ne ho già 90°, quindi deve essere di 90° anche di qua ..; quindi ora tramite un teorema che avevamo in testa, siamo riusciti ad avere un quadrilatero con tre angoli retti ... ma, un quadrilatero con tre angoli retti è sicuramente un quadrato? 147 Luca2: no, può essere anche un rettangolo 148 I: lui dice può essere anche un rettangolo ... 149 Coro: si, un rettangolo 150 I: ma qui cosa c'è ancora? 151 Coro: i lati ... i due raggi della circonferenza ... due lati uguali 152 I: i due raggi che come sono ? 153 Coro: uguali 154 I: sono uguali... in un rettangolo invece, sarebbero due lati consecutivi che sono diversi ... mentre, qui i due lati consecutivi sono uguali ... quindi, in effetti, tramite quella costruzione lì, siete d'accordo che è un quadrato, che mi porta ad un quadrato ? 155 Coro: si, si 156 I: O.K. farei infine vedere la via di mezzo tra queste due (costruzione "mista"), che è stata fatta da Giorgio e Simone (Si carica sul computer) 157 I: vorrei che questa volta me la spiegaste voi la figura ... guardate bene quello che succede ... e se avete capito come funzionano le cose dovreste essere in grado di dirlo ... voglio tutto da voi. Vi faccio vedere la costruzione passo-passo (nella ricostruzione passo-passo viene retta, ma sullo schermo non si vede niente ...) retta ... quale retta 158 Giorgio: mi sa che sarà su 159 I: non è una di queste rette 160Giorgio: no, avevamo sbagliato e l'abbiamo tirata su
164 Giorgio: non c'erano 165 I: basta pigiare le freccine ...quindi, te praticamente, avendo fatto la retta perpendicolare ad AC hai gli angoli retti in A ... poi rette ... Giorgio: per C perpendicolare a DB 166 I: ora si vede se hai detto la verità ... 167 Federico: bisogna misurare 168 I: bisogna misurare ? 169 Federico: no, no è vero! 170 I: no, dimmi Federico, la misura ti convince? Federico: no, anche nel primo quadrato c'erano le misure, ma non andava bene ... 171 Coro: si muove , si muove 172 I: allora proviamo? ;Simone: no, non si muove, cioè, che suicidio; ma quel punto in fondo ...(si muove la figura), no, professoressa, basta! (Risate) 173 I: è vero che si muove, però, cosa succede? cioè, dove hanno sbagliato e dove hanno fatto bene? e quindi, come dovevano fare? 174 Simone: abbiamo sbagliato tutto 175 I: Cosa è che qui rimane di buono? 176 Federico: va rimesso a posto; la perpendicolare, l'angolo retto 177 Giorgio: rimane sempre retto 178 I: quindi l'unica cosa che lui aveva detto di fare ... la perpendicolare è rimasta, vedete? però, l'angolo retto non rimane in A, quindi prima ti ricordavi male, e anche qua rimangono ancora perpendicolari. Quindi cosa manca qui che hanno fatto ad occhio? 179 Iacopo: le rette parallele 180 I: allora c'è una gerarchia quello fatto maluccio, quello fatto un po' meglio, quello fatto bene... cosa direste? 181 Simone: il primo è il loro (Mario e Giulio) 182 I: per quale motivo? 183 Coro: perché non si deforma 184 I: per quale motivo, come è stato costruito? cosa hanno usato? 185 Coro: tutti in funzione 186 Leonardi: hanno usato una costruzione geometrica 187 I: cioè, hanno legato tutti i lati, tutti gli angoli ecc. con delle proprietà. Cioè, hanno detto questo deve essere perpendicolare a questo ... questo lato deve rimanere parallelo a quest'altro ... e due lati devono essere uguali, perché raggi di circonferenze ... quindi hanno imposto delle proprietà alla figura e quindi il nostro Cabri che cosa fa? le rispetta queste proprietà che vengono dichiarate? 188 Coro: si, si 189 I: e quindi quando lo muovo continua a ricordarsi tutto quello che gli è stato detto e lo muove, però continuando a mantenere una retta perpendicolare a quell'altra, quell'altro parallelo a questo, circonferenze passanti per ... ecc.. Invece loro cosa si erano dimenticati? Giorgio e Simone? 190 Iacopo & altri : le rette parallele 191 I: di fare le due rette di partenza parallele e poi anche di fare cosa? ... Perché anche se facevano le due rette di partenza parallele e le altre due perpendicolari cosa poteva saltare fuori? 192 Coro: un rettangolo 193 I: quindi non si sono nemmeno preoccupati di che cosa? 194 Coro: delle circonferenze 195 I: cioè dei lati uguali, quindi, insomma, qualcosa ... che c'era da fare le rette perpendicolari, che c'era da usare delle proprietà ... infatti, loro a differenza degli altri non hanno misurato, vedete? qui non ci sono le misure; quindi, loro si basavano in testa loro su delle proprietà, però, non l'hanno formalizzato bene; e poi ci sono invece per ultimo le costruzioni puramente ad occhio, controllate con la misura e quindi quelle che abbiamo deciso che non sono costruzioni.
Analisi della discussione sulla costruzione del quadrato. Classe 1 Liceo Scientifico 1 - Presentazione dei vari tipi di costruzioni; ed avvio della discussione proponendo la costruzione "ad occhio" (gruppo Luca2-Simone2), nella quale si riconoscono altri gruppi. Richiesta di giudizio sulla costruzione. 2 - 30 Sembra esserci accordo sull'obiettivo: giudicare se la figura ottenuta è un quadrato in base alla misura dei lati e degli angoli. Elementi interessanti che emergono sono: precisione e misura; il controllo avviene sul disegno secondo lˆdefinizione di quadrat˜ che i ragazzi conoscono bene fin dalla scuola media. 9 I. : Vorrei sapere se questo risulta sempre secondo voi un quadrato ? Questo intervento dell'insegnante centra l'attenzione sul prodotto ma mette in risalto ("risulta sempre") il fatto che la figura è il risultato di un processo di costruzione 31 l'intervento di Ventura sposta l'attenzione su l'uso di proprietà note da utilizzare per minimizzare i controlli; questo è un esempio di come le conoscenze dei ragazzi siano a livello di "teoremi in atto". Si apre una discussione, che prenderà abbastanza spazio, sul numero di angoli che si deve misurare. In realtà la discussione nasce dal fatto che i ragazzi non sembrano essere in grado di esplicitare con precisione le proprietà che hanno in mente ed intendono utilizzare. Si vede bene che la discussione li forza ad esplicitare il tipo di angoli cui si riferiscono. Naturalmente lo stimolo dell'insegnante risulta determinante per il processo di esplicitazione. Ad esempio, Giorgio ha individuato un 'controesempio (44), l'insegnante lo ha colto e cerca di indurre Giorgo a riformularlo in termini più generali (46), e lo riprende in (47) in termini di controesempio ... L'insegnante regge alla tentazione di spiegare e disegnare il controesempio (49) ed invita Giorgio a farlo; come mostra lo scambio di battute in realtà non è così facile come poteva sembrare e questo rende più significativo l'aver lasciato fare all'allievo. Segue una discussione in cui si intravede dove sta il problema - la coppia di angoli alla quale facevano riferimento i contendenti non era la stessa (opposti o adiacenti) - e l'invito a ciascuno di provare per proprio conto. Ancora una volta l'insegnante regge all'impulso di spiegare quello che si intravede, lasciando il tempo agli allievi di appropriarsi della costruzione del controesempio. Il riassunto di Luca e altri interventi mostrano come i ragazzi abbiano raggiunto la convinzione: sono convinti di cosa c'è da fare per controllare che il disegno ottenuto sia un quadrato. La discussione in realtà potrebbe andare avanti, ma il suo sviluppo sarebbe senza possibilità di sbocco, perché in realtà i ragazzi non possono dimostrare niente; ma è interessante questo primo abbozzo di argomentazione che ha come scopo esplicito la convinzione (68), che si basa su alcune proprietà note agli allievi dalla scuola Media e tenta di superare una valutazione puramente percettiva del disegno. Segue una breve digressione sul fatto che le misure non sono precise... è puramente casuale ma estremamente utile perché porta alla svalutazione della misura e della valutazione ad occhio. La sfiducia nella misura, benché espressa dal computer introduce la richiesta di nuovi criteri (87) e (88) spostano l'attenzione su altri tipi di costruzioni, ad esempio la costruzione di Luca2. L'insegnante muove uno dei vertici e la figura si deforma. La discussione viene interrotta sull'intenzione dell'insegnante di mostrare e discutere le strategie miste, chiedendo di prevedere cosa accade quando si muove.
Seconda parte E' passato del tempo si deve riassumere. Luca aveva già riassunto la volta precedente. In realtà, sia perché Luca aveva già fatto un riassunto così, sia perché la parte più consistente della discussione era stata centrata proprio su questo problema della misura degli angoli, sembra che delle ultime cose dette sul movimento della figura non ci sia traccia. L'insegnante riprende in forma di racconto, per risvegliare il ricordo ... (11) Sembra che funzioni e il ricordo si accende. L'insegnante carica la figura di Luca2 e muove. E' una costruzione "ad occhio" e trascinando uno dei vertici si deforma ... Viene caricata la figura di Mario-Giulio che invece regge al trascinamento. (21) L'insegnante sollecita i commenti. Da notare come qualcuno si riconosce nella costruzione di altri (Iacopo). La prima risposta alla richiesta di commenti è quella di Giorgio che comincia a descrivere quello che sembra abbiano fatto e suggerisce di usare il comando Passo-passo. L'insegnante esegue descrivendo cosa hanno fatto ... ad un certo punto, interrompe la descrizione e chiede di riflettere sulle azioni compiute cercando di individuarne le motivazioni delle varie scelte. Si tratta del primo shift dal procedimento alla giustificazione del procedimento . I ragazzi sono disorientati: segue Silenzio. Questo mostra che il passaggio dall'azione alla sua motivazione non è né semplice né spontaneo. L'insegnante prosegue invitando a trovare una "logica nel fare questo". Lo scambio successivo è molto interessante per vedere come funziona la discussione nello spostamento del centro di interesse: Beatrice esprime la relazione che intercorre tra due dei segmenti legati dalla costruzione; l'insegnante riformula il fatto in termini di motivazione "la circonferenza serve ..."; il coro riprende in termini di motivazione. Il brano che segue mostra la continuazione dell'analisi impostata dall'insegnante e attuata in termini previsionali: la costruzione passo-passo viene preceduta dalla richiesta di una previsione. Ottimo esempio di attività di mediazione da parte dell'insegnante che offre sostegno, mantenendo il controllo dell'analisi, ma lasciando agli allievi il compito di esplicitare le motivazioni e le azioni necessarie. Il gioco della previsione permette la libertà di seguire anche scelte diverse da quelle fatte dagli autori. L'obiettivo in questo caso è entrare nel gioco della motivazione delle costruzioni e comprendere che le proprietà stabilite attraverso i legami geometrici che intercorrono tra gli elementi dati e gli elementi costruiti, garantiscono che il prodotto finale risulti sempre un quadrato. (46) E' quasi commovente! Confronto con le costruzioni precedenti, in particolare con i risultati intesi come figure di Cabri (che reggono al trascinamento) (50-54) 55 - forzatura alla convenzione di scegliere la figura di Cabri come quella accettabile come soluzione di un problema di costruzione. Ma contemporaneamente viene richiesta una motivazione della scelta fatta. Si torna sul confronto delle costruzioni: contributi diversi mettono in luce vari elementi di diversità, finché Marco esprime bene il punto cruciale (72) "il quadrato è in funzione ..." L'insegnante non si accontenta stimola a ripercorrere la costruzione descrivendo in dettaglio i legami che si creano (75 - 98) La difficoltà non sta nel seguire i vari passi, ma nel trarre la conclusione; infatti, mentre durante la descrizione il coro segue, quando l'insegnante chiede di concludere, interviene il silenzio . Ci prova Giulio con l'idea di "un legame tra tutti i lati" e successivamente Simone2 recupera la parola costruzione che in questo contesto viene dunque ad assumere un significato preciso di legame geometrico tra gli elementi in gioco. Dopo qualche digressione, in cui per altro non si perde l'occasione per svalutare la misura, il coro riprende la parola costruzione (120) che viene immediatamente istituzionalizzata dall'insegnante (121). (121) Si riparte con una richiesta di descrizione motivata (126) Descrizione (127) Richiesta di motivazione (128) Motivazione Buona idea dell'insegnante di seguire la descrizione eseguendo le azioni ... Il fornire le motivazioni è faticoso e non spontaneo, c'è bisogno dell'intervento dell'insegnante che più volte chiede il motivo. Entrano così di nuovo in gioco le conoscenze che gli allievi hanno dalla Scuola Media (156) Analisi di una costruzione mista (167) Ritorna la misura!!! I ragazzi prevedono che non funzionerà, l'insegnante chiede di decidere cosa c'è di buono e cosa di sbagliato. Valutazione finale dei vari tipi di elaborati dove torna la parola costruzione sembra abbastanza chiaro che cosa si intenda per costruzione geometrica: il prodotto finale deve essere una figura che non si deforma (183). Una costruzione che funziona lega gli elementi in funzione delle proprietà, è possibile spiegare perché una certa costruzione funziona. |
