D. ... approfondimento per l'insegnante

PANTOGRAFO DI SCHEINER

Sia dato un parallelogramma articolato : la sua configurazione dipende dal parametro a.

Tre punti O,P,Q scelti rispettivamente su tre lati (uno dei quali opportunamente prolungato) e allineati nella posizione iniziale, si mantengono allineati in una qualsiasi configurazione del sistema. Infatti la condizione di allineamento dei tre punti , CP/DO = costante, è verificata in quanto CP/DO rimane sempre uguale al rapporto CQ/DQ e non dipende da a . Questa importante proprietà viene utilizzata nella costruzione dei pantografi per la omotetia e per la rotoomotetia. Infatti se fissiamo il punto A, e muoviamo il sistema, i punti P e Q hanno due gradi di libertà: facendo percorrere a P una curva, Q descriverà una curva simile alla precedente.

In particolare il pantografo di Scheiner è costituito da quattro aste rigide incernierate nei punti A, B, C, Q in modo tale che ABCQ sia un parallelogrammo e che i punti O, Q, P siano allineati (è sufficiente che CQ=AB , AQ=BC e AB/OA=CP/BC). Il sistema articolato è imperniato al piano in O. In ogni posizione i triangoli OAQ, OBP e QCP sono simili (due lati in proporzione e l’angolo compreso uguale) . Ne consegue che : gli angoli BOP e CQP sono uguali e quindi i punti O, Q e P sono allineati il rapporto OP/OQ è uguale al rapporto BP/BC, quindi costante.

I punti Q e P si corrispondono nella omotetia di centro O e rapporto OB/OA. Il rapporto di omotetia è k>1 se viene scelto Q come punto direttore e P come punto tracciatore; è invece k<1 nel caso contrario. Imperniando al piano il punto Q otteniamo uno strumento che realizza una omotetia di rapporto negativo.

Nel caso in cui OB=BP i punti messi in corrispondenza dalla macchina appartengono ai due cerchi di raggio rispettivamente OB+BP e OA+AQ .