D. ... approfondimento per l'insegnante

Pantografo per la simmetria centrale

Il sistema è formato da un rombo articolato ABDP, di lato l, il cui lato AB è prolungato di una lunghezza BP'=AB. Il punto medio O del lato BD è imperniato al piano. I punti corrispondenti P e P' hanno due gradi di libertà e la corrispondenza fra p e P' è una trasformazione geometrica.

Le regioni piane messe in corrispondenza si possono individuare nei seguenti modi:

• Deformiamo il rombo in modo tale che i punti P e B coincidano (in questa configurazione P e P' hanno distanza minima da O): ruotando il sistema attorno ad O, possiamo osservare che i punti interni alla circonferenza di centro O e raggio l/2 sono inaccessibili a P e P'. Deformiamo il rombo in modo tale che i punti A e D coincidano (in questa configurazione i punti P e P' hanno distanza massima da 0): ruotando il sistema attorno ad O possiamo osservare che i punti esterni alla circonferenza di centro O e raggio 3l/2 sono inaccessibili a P e P'. Le regioni piane messe in corrispondenza quindi sono sovrapposte e coincidono con la corona circolare di centro O, raggio interno l/2 e raggio esterno 3l/2.
• Nel triangolo OPD si ha : OP£OD+DP=31/2 e OP£DP-OD=I/2.

Analogamente si procede per il punto P'.

Muovendo la macchina è possibile osservare che i punti P e P' sono, in ogni posizione, allineati con O e ad ugual distanza da O (i triangoli P DO e P'BO sono congruenti) : la trasformazione generata è una simmetria centrale.

Variando la lunghezza l del lato del rombo articolato, non cambia la natura della trasformazione, ma solo la dimensione delle regioni piane messe in corrispondenza..

Il rombo articolato ha l'unica funzione di mantenere i punti P e P' allineati con O e ad ugual distanza da esso e può essere sostituito con un parallelogramma di lati AB=a e BD=b. In tal caso la corona circolare coincidente con le regioni di piano messe in corrispondenza ha raggio interno a-b/2 e raggio esterno a+b/2. Se assumiamo poi b=2a la corona circolare diviene il cerchio di centro O e raggio b : il punto O è accessibile a P e P', permettendo di verificare che è punto unito della trasformazione.