D. ... approfondimento per l'insegnante

Simmetria Assiale

Il meccanismo è costituito da un rombo articolato di lato l, i cui vertici opposti B e C sono vincolati, mediante cursori, a scorrere nella scanalatura s del piano del modello. I punti A e D hanno, in tal modo, due gradi di libertà e la macchina realizza una trasformazione geometrica fra due regioni piane: quella dei punti accessibili ad A e quella dei punti accessibili a D, che giacciono su semipiani opposti rispetto ad s. Per determinarle deformiamo la macchina in modo tale che A e D abbiano da s distanza massima, quindi facciamo scorrere i punti B e C (ora sovrapposti) lungo la scanalatura. La regione dei punti accessibili ad A è limitata dalla scanalatura s, dalla sua parallela a distanza l da essa e da due archi di circonferenza con centri gli estremi di s e raggio l. Analogamente per il punto D.

Muovendo la macchina è possibile osservare che:

  1. la retta passante per A e per D è, in ogni posizione , perpendicolare ad s
  2. quando A tende a sovrapporsi ad un punto di s, anche D tende a sovrapporsi allo stesso punto
  3. in ogni posizione è AH=DH.

La trasformazione generata dallo strumento è quindi una simmetria assiale ortogonale.

Il rombo articolato ha la funzione di mantenere i punti A e D sulla stessa retta perpendicolare ad s e ad ugual distanza da essa; variando la lunghezza del suo lato variano le dimensioni delle regioni messe in corrispondenza. Esso può essere sostituito con un deltoide, in cui siano vincolati a scorrere nella scanalatura i vertici appartenenti all’asse di simmetria (fig.2).

Tale sostituzione non produce alcun vantaggio: infatti se il lato minore del deltoide è uguale al lato del rombo, le regioni piane messe in corrispondenza sono le stesse, ma la macchina è più ingombrante ; se il lato maggiore del deltoide è uguale al lato del rombo, le regioni del piano messe in corrispondenza hanno una minor estensione.

Se il deltoide viene vincolato al piano costringendo i vertici simmetrici a scorrere lungo la scanalatura, la corrispondenza fra gli altri due vertici non è più una trasformazione lineare.

Riferita la figura ad un sistema di assi cartesiani ortogonali con asse delle ascisse coincidente con la scanalatura e origine in qualunque punto di essa si ha: relazioni dalle quali non è possibile ottenere le equazioni di una trasformazione lineare.