simmetrie della curva e proprietá dell'iperbole

Con questa scheda si conducono gli studenti ad osservare le simmetrie dell'iperbole, si dà la definizione di vertici e si ricava la relazione fra distanza fra i vertici, distanza focale, e differenza fra le distanze di un punto dell'iperbole dai fuochi. Si definiscono inoltre gli asintoti della curva.

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Osserva la figura costituita dalle tre curve che hai tracciato nel piano. Ci sono simmetrie in tale figura? Quali? (Osserva bene la situazione in cui i lati minori dell'antiparallelogramma sono paralleli)

Secondo te, l'iperbole è disegnata per intero o ne manca una parte?

Quale è la configurazione dell'antiparallelogramma in cui il punto P (che percorre l'iperbole) ha minima distanza da uno dei due fuochi? Sapresti caratterizzare geometricamente -in questa situazione- la posizione del punto P?

Riprendi in esame lo strumento; sfila dai due perni che lo vincolano al piano il lato maggiore dell'antiparallelogramma e infila in questi perni ( dopo aver ruotato lo strumento di un angolo opportuno) i vertici dell'altro lato maggiore CD. (Oppure, senza modificazione dello strumento: prendi un punto generico della curva che hai studiato; considera il simmetrico –P'- del punto P rispetto alla retta AB. Qual è l'arco di curva descritto da P' al variare di P?) L'arco “nuovo” è simmetrico del precedente? Rispetto a quale retta? I “nuovi” punti soddisfano alle medesime proprietà cui soddisfacevano gli altri? Perchè?

Individua un centro di simmetria nella iperbole.

Ritorna alla situazione in cui i lati minori dell'antiparallelogramma sono paralleli. Rispondi per iscritto alle seguenti domande.
Dove si intersecano i lati maggiori dell'antiparallelogramma?
I segmenti AC, BD sono paralleli?
I segmenti AD, BD sono perpendicolari? Perchè?
La retta passante per il centro di simmetria e parallela ai lati minori dell'antiparallelogramma può incontrare la curva? Perchè? (Questa retta si chiama asintoto dell'iperbole). C'è un altro asintoto? Considera (in questa configurazione) le lunghezze dei segmenti AD, AB, DB. Da quale relazione sono collegati?