simmetrie della curva e proprietá dell'ellisse

Con questa scheda si conducono gli studenti ad osservare le simmetrie dell'ellisse, si dà la definizione di vertici e si ricavano le relazioni tra lunghezza degli assi, la distanza focale e la somma delle distanze di un punto della curva dai fuochi

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Osserva la figura costituita dalle tre curve che hai tracciato nel piano. Ci sono simmetrie in tale figura? Quali? Secondo te, l'ellisse è disegnata per intero o ne manca una parte? Traccia la retta che congiunge i fuochi; qual è la massima distanza tra un punto della ellisse e questa retta?

Riprendi in esame lo strumento; sfila dai due perni che lo vincolano al piano il lato minore dell'antiparallelogramma e ricollegalo ai perni stessi dopo averlo ruotato in modo che la macchina occupi il semipiano opposto a quello in cui si trovava prima. Ora puoi disegnare tutta la curva. (Oppure, senza modificazione dello strumento: prendi un punto generico della curva che hai studiato; considera il simmetrico –P'- del punto P rispetto alla retta che congiunge i fuochi. Qual è l'arco di curva descritto da P' al variare di P?) L'arco “nuovo” è simmetrico del precedente? Rispetto a quale retta? I “nuovi” punti soddisfano alle medesime proprietà cui soddisfacevano gli altri? Perchè?

Individua un centro di simmetria nella ellisse. La retta che congiunge i fuochi passa per il centro di simmetria: manda dal centro la perpendicolare a questa retta. I quattro punti di intersezione tra l'ellisse e tali due perpendicolari si chiamano vertici della curva. Quanto vale la distanza fra i vertici? Quali relazioni esistono tra questi segmenti:
1) distanze tra i fuochi
2) distanze tra i vertici (prese in tutti i modi possibili)
3) somma delle distanze tra un punto generico della ellisse e i due fuochi?