Percorsi didattici e percorsi storici.
(approfondimento per l'insegnante)

La dimensione culturale di un percorso didattico (soprattutto nelle discipline scientifiche) risulta alterata (o impoverita) se si trascura di mettere in evidenza che i concetti studiati hanno avuto una storia, e sono quindi legati ai mutamenti che il tempo produce nella società, nel modo di vivere e di pensare. E' bene che l'apertura di uno spazio storico entro il percorso didattico (se viene decisa) non sia occasionale, ma continua e metodica. Esistono tuttavia alcuni ostacoli. Da un lato non ci si può assumere il carico insostenibile (e lo sarebbe non solo per gli studenti- soprattutto i più giovani - ma anche per l'insegnante) di illustrare genesi ed evoluzione dei concetti e delle teorie in tutta la loro complessità (reti di rapporti con i contenuti e gli eventi interni ed esterni alla disciplina specifica); d'altra parte, occorre evitare il rischio di semplificazioni eccessive; inoltre, il linguaggio degli antichi non può essere sempre presentato senza mediazioni a allievi inesperti: sarà talvolta indispensabile "forzarlo" leggermente con alcune trascrizioni. Si noti tuttavia che giungere alla lettura (guidata) di alcune fonti è finalità essenziale di un accostamento alla storia che sia fruttuoso e lasci qualche traccia.

Come esempio, prendiamo in considerazione uno degli argomenti affrontati nelle unità di lavoro proposte. Materiali di approfondimento - o relativi ad altri temi - sono disponibili presso gli autori.
Dagli appunti che seguono si potrebbe ricavare un discorso, illustrato da disegni e modelli, in grado di sollecitare - quanto più possibile - la fantasia degli allievi: discorso che (se lo si ritiene opportuno) potrà essere - in questa unità di lavoro - soltanto iniziato: per completarlo eventualmente in tempi successivi, quando sarà approfondito lo studio delle curve piane.

Sistemi di riferimento e curve.

1) Si può partire dai termini "ascissa" e "ordinata", che ci derivano dalla geometria greca. Nel trattato di Apollonio ("Coniche") le curve sono figure assegnate, già tracciate nel piano; si tratta di ricavare, studiandole, una loro proprietà caratteristica ("sintomo").

Prendiamo ad esempio la parabola: il sintomo si ottiene mettendone in relazione un punto P con due altri oggetti geometrici, assegnati insieme alla curva, che sono una retta d e un segmento (opportunamente definito) di lunghezza k: Fig.A1 animazione CabriJava (e File Cabri scaricabile su PC). Ma per fare questo, occorre tracciare da P secondo una direzione determinata (ordinatim ducere: cioè, condurre in base a una legge) una seconda retta che intersechi d in H. (Per esempio, se d è l'asse della parabola, la retta tracciata da P deve essere perpendicolare a d; se invece d è parallela all'asse, la retta tracciata da P dovrà formare con d un angolo non retto, che dipende dalla distanza fra d e l'asse). Se si considerano due o più punti P in posizione diversa sulla parabola, tutte le rette ordinatim ductae da tali punti danno origine a segmenti PH (noi diciamo "ordinate") fra loro paralleli. La distanza fra H e il punto V (vertice: intersezione tra d e la parabola) è un segmento che la ordinata taglia (stacca) su d (la sua lunghezza dipende ovviamente dalla posizione di P) e che si chiama "ascissa" (da abscindere : tagliar via, staccare). A questo punto, le relazioni tra P, d e k (cioè tra PH, HV e k) possono essere indagate usando la teoria delle proporzioni. Si troverà in ogni caso il sintomo che già conosciamo, PH*PH=k*HV (*) (da leggere come uguaglianza di aree). Possiamo quindi dire che i termini di ascissa e ordinata ci sono stati consegnati come conseguenza della necessità che i geometri antichi avevano di applicare alle curve il loro strumento fondamentale di indagine: la teoria delle proporzioni.

2) Si è detto che la retta d e la lunghezza k sono oggetti geometrici assegnati insieme alla parabola. La domanda ovvia a questo punto è: come vengono assegnati? La risposta richiede che sia presentato (preferibilmente attraverso un modello fisico) il cono di Apollonio: Fig.A2 animazione CabriJava (e File Cabri scaricabile su PC) del quale la parabola è sezione piana. Il piano secante è parallelo a una generatrice e perpendicolare al triangolo per l'asse che contiene tale generatrice: allora d è l'intersezione tra piano secante e triangolo per l'asse; il valore di k è legato alla distanza tra V e il vertice del cono, PH è l'intersezione tra il piano secante e la base del cono . (Particolarmente semplice il caso del cono retto e rettangolo, che si consiglia di sviluppare più ampiamente: teoria di Menecmo: Fig.A3 animazione CabriJava (e File Cabri scaricabile su PC) ). Gli "oggetti" d , PH , k non costituiscono dunque alcun sistema di riferimento in senso moderno (mancano del resto algebra, variabili ed equazioni): la proporzione k:PH=PH:HV (*) deve essere letta come una proprietà che stabilisce uno stretto collegamento tra la curva in esame e lo spazio a tre dimensioni. Si noti ancora che non troviamo, negli autori greci del periodo, allusioni a un possibile movimento del punto P sulla curva, durante il quale la (*) si conservi inalterata. La validità della (*) (equivalenza di aree) per l'intera curva è affermata soltanto in base alla possibilità di ripetere (iterare) il ragionamento svolto relativamente al punto particolare P quando si prenda in considerazione un punto diverso della medesima curva. Questo carattere iterativo delle prove è tipico del pensiero geometrico greco.

3) Descartes opera in uno spazio culturale profondamente mutato. Gli studi matematici sono segnati in senso innovativo dalla presenza dell'algebra (che insieme a tecniche nuove è portatrice di uno stile di pensiero ben diverso da quello radicato nella tradizione classica, perché si forma in contatto con le attività mercantili e la peculiarità dei problemi che esse presentano) e dall'importanza crescente assegnata al movimento (all'interno di una complessiva rivalutazione delle arti meccaniche, di contatti sempre più stretti fra scienza e tecnica). I nuovi strumenti inventati per tracciare le curve (in particolare le coniche) trasformano i "sintomi" della geometria greca in proprietà generatrici, in leggi che controllano un meccanismo (e mettono in relazione variabili e costanti): accentuano quindi il carattere costruttivo - operativo della verità (l'intima natura di una curva è rivelata durante il disegno, dal modo in cui viene disegnata). Nella "Geometria" di Descartes le coniche sono considerate come traiettorie di un punto guidato da rette: in parte fisse (assegnate in posizione), in parte mobili. Il moto relativo di queste rette è precisato da un enunciato (definizione della curva). Una delle rette fisse (scelta opportunamente) serve come riferimento: su questa le lunghezze variabili sono misurate a partire da un punto prefissato (origine). Dal punto tracciatore si manda una "ordinata" che forma con la retta fissa prescelta un angolo costante e determina, intersecandola, la "ascissa" del punto. L'ordinata si muove insieme al punto conservando la sua direzione, ma cambiando la sua lunghezza, e staccando sulla retta fissa ascisse sempre diverse. L'equazione che collega ordinata e ascissa (variabili) è un invariante del movimento. Si esemplifichi sulla parabola (strumento del Cavalieri e altri). La equazione y*y=k*xsi può anche considerare una traduzione della (*) in linguaggio diverso: ma è con essa assolutamente inconfrontabile quanto a significato e inquadramento teorico (è scomparso, fra l'altro, ogni riferimento allo spazio tridimensionale).

4) Un'ultima tappa di questo schematico itinerario storico si può collocare a metà settecento (Cfr. Euler, "Introductio in analysin infinitorum"). Descartes definisce curve particolari attraverso un enunciato, e solo dopo sceglie un sistema di riferimento opportuno (strettamente legato alla definizione, quindi all'oggetto definito) per ottenere deduzioni ed equazioni semplici. Egli è perfettamente consapevole che si potrebbe scegliere un riferimento diverso: ma ci sarebbero maggiori difficoltà e scritture più complesse. (Il modo in cui la equazione dipende dalla scelta del riferimento sarà progressivamente studiato e minuziosamente analizzato nei decenni successivi, dopo la diffusione dei metodi cartesiani). Inoltre, Descartes è ancora molto cauto nell'uso dei numeri negativi.
In Euler, troviamo un atteggiamento teorico molto diverso, più vicino a quello assunto da noi: Fig.A4 animazione CabriJava (e File Cabri scaricabile su PC). L'asse delle ascisse è collocato nel piano (insieme all'origine) prima che sia definito l'oggetto particolare che dovrà essere rappresentato; l'ordinata è un segmento che ha il primo estremo in un punto (di ascissa variabile) giacente su tale asse, forma con quest'ultimo un angolo assegnato (in particolare retto) e trasla quindi (verso destra o verso sinistra rispetto all'origine, quando l'ascissa cambia) variando la sua lunghezza. Il secondo estremo della ordinata variabile descrive quindi una curva (o funzione) generica. Le ascisse e le ordinate possono essere positive o negative: la curva (il grafico della funzione) può occupare qualunque regione del piano.
Il riferimento è qui, perciò, completamente arbitrario e indipendente dall'oggetto considerato: lo spazio è un mero contenitore.
Ciò che distingue il discorso di Euler dal nostro (a parte il legame ancora evidente con la tradizione classica nel modo di considerare ascisse e ordinate) è una particolare accentuazione e valorizzazione del concetto di continuità (nel movimento e nelle rappresentazioni intuitive) che riconosciamo come caratteristica del pensiero scientifico nel settecento.

Traccia per gli studenti

Agli studenti che hanno svolto solo la Unità di Lavoro N si farà osservare:

• Nella geometria greca (dell'epoca classica) non c'è né l'algebra né il movimento: novità introdotte nel pensiero matematico durante il rinascimento (sviluppo della economia mercantile).
• Le curve per i geometri greci sono date nel piano, studiate nella loro interezza, in quanto oggetti completi, già tracciati; mentre i geometri del rinascimento danno enorme importanza alla generazione delle curve mediante il moto, e agli strumenti che le disegnano, rivelandone la natura. Manca nella geometria greca un concetto analogo a quello di variabile.
• Da ciò segue che una medesima relazione (quella che definisce la parabola: noi l'abbiamo dedotta dallo studio dello strumento di Cavalieri, ma era nota anche ai geometri greci) viene letta in modi diverso (e assume un diverso significato) nelle due diverse epoche storiche. Nel '600 è una equazione (proprietà invariante che collega grandezze geometriche variabili); presso i geometri greci (Euclide, Menecmo, Apollonio) è una proporzione (esprime una uguaglianza fra aree).
• Nello strumento del Cavalieri possiamo parlare di un sistema di riferimento in senso vicino al nostro. Differenze: c'è solo l'asse delle ascisse; le ordinate sono segmenti variabili perpendicolari all'asse che si spostano (cambiando lunghezza, ma non direzione) al variare delle ascisse corrispondenti; inoltre asse e origine sono vincolati al meccanismo tracciatore (quindi alla curva) non scelti liberamente nel piano.
• Nella parabola dei greci non c'è un riferimento nel senso moderno. Quello che noi siamo portati a interpretare come asse delle ascisse è in realtà una semiretta legata al cono da cui la parabola è ricavata come sezione. Preso un punto della parabola, da esso si manda una perpendicolare a tale semiretta; l'origine della semiretta, il piede della perpendicolare individuano un primo segmento (tagliato sulla semiretta, separato dalla semiretta: abscindere, da cui ascissa) ; un altro è individuato dal piede della perpendicolare e dal punto preso sulla curva; questi due segmenti (di grandezza costante) sono confrontati a un terzo segmento (legato anch'esso al cono): si ricava la proporzione che conosciamo. Si può dimostrare la validità di questa proporzione per ogni altro punto della curva (il ragionamento viene ripetuto per i nuovi punti: non si fa scorrere sulla curva il punto inizialmente scelto). Ma, affinché il ragionamento possa essere ripetuto, occorre che dal nuovo punto si mandi di nuovo una perpendicolare alla semiretta: così tutte queste perpendicolari (parallele fra loro) sono ordinatamente condotte (ordinatim ductae) alla semiretta: da ciò il nostro termine "ordinata".

A questo punto l'insegnante potrà sospendere l'analisi. Si noti tuttavia che (già lo abbiamo osservato) il discorso dovrà essere ripreso e approfondito in seguito (con nuove Unità di Lavoro e quando gli studenti saranno più maturi) fino ad arrivare alla lettura guidata di alcuni passi scelti dalle fonti originali.