RUOTE

CERCHI

Prologo alle ruote (Situazione A1)

Si inizia con una serie di attività introduttive legate all’osservazione e alla descrizione del funzionamento di diversi meccanismi presi dalla vita quotidiana. Nei meccanismi sono presenti ingranaggi costituiti da ruote dentate ingranate ed è su questo che si ferma l’attenzione.

Problema del correttore (Situazione A2)

Il problema riguarda un oggetto comune: il correttore a nastro.Il problema proposto è di funzionamento e l’attenzione è al movimento delle due ruote ingranate.

DESCRIVI COME FUNZIONA IL BIANCHETTO. COME SONO LE RUOTE? COME GIRANO? PUOI UTILIZZARE SCHIZZI E DISEGNI.

Il problema porta alla formulazione del postulato fondamentale:

Due ruote ingranate complanari girano in versi opposti.

Prologo al cerchio (Situazione B)

Il cerchio viene introdotto come forma che meglio modellizza una ruota dentata. Il compasso tradizionale è lo strumento che permette di costruire con precisione questa forma. Il problema viene proposto come critica della soluzione di un problema di costruzione, per fissare la nozione di cerchi tangenti ed alcune proprietà.

In una classe è stato dato il seguente problema:

Disegna una ruota S con il raggio di 3 cm che ingrani con la ruota R qui disegnata [è disegnato un cerchio].Uno studente, dopo alcuni tentativi, ha prodotto questo disegno, però si è accorto che c’è qualcosa che non va [sono disegnati due cerchi parzialmente sovrapposti]. Cosa c’è che non va? Prova a risolvere tu il problema e spiegagli bene come aggiustare la figura.

Vengono costruite collettivamente le condizioni di tangenza di due cerchi:

Dati due cerchi tangenti (esternamente):

1. Il punto di tangenza è allineato con i due centri;
2. Il segmento congiungente i due centri passa per il punto di tangenza:
3. La distanza tra i due centri è uguale alla somma dei raggi.
4. Viceversa, dati tre punti allineati A,T,B, i cerchi con centro A e raggio AT e con centro B e raggio BT sono tangenti in T.

Il problema delle tre ruote (Situazione C)

Questo problema riguarda ingranaggi immaginati e non reali.

Abbiamo analizzato il funzionamento di un ingranaggio con due ruote. E se le ruote fossero tre? In che modo potrebbero essere disposte? Che cosa accadrebbe? Giustifica con cura le tue ipotesi.

Il problema serve per introdurre due possibili disposizione di ruote ingranate: a fila quando i centri di rotazione sono disposti su una linea aperta tale che la prima e l’iltima ingranano solo con la seconda; a collana quando i centri di rotazione sono posti su una linea chiusa con la seguente proprietà: ogni ruota della collana ingrana con le altre due.

Il problema porta alla formulazione di due enunciati relativi al funzionamento delle ruote:

1. In una fila di tre ruote ingranate la prima e l'ultima girano nello stesso verso
2. In una collana di tre ruote si ha un blocco: l'ingranaggio non funziona.

Il problema dei tre cerchi (Situazione D)

Si tratta di un problema di costruzione nel quale bisogna disegnare un cerchio tangente a due cerchi dati.

Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati due cerchi di raggi 2 cm e 3 cm, con distanza tra i centri di 7 cm].

Spiega chiaramente il metodo che usi in modo che altri possano usarlo.

Spiega con cura perché il metodo funziona.

Nella risoluzione di questo problema si passa dalla costruzione per tentativi di una figura corretta, alla descrizione e giustificazione di un metodo che ricorre all’uso del compasso per determinare i due possibili centri di due cerchi che soddisfano le condizioni richieste. In questo passaggio il compasso cambia di stato: da strumento per disegnare cerchi (forme rotonde) a strumento per trovare punti che hanno una distanza assegnata da un punto dato.

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Confronto Erone- Euclide (situazione E)

Si introducono nella classe due voci della storia che esplicitano l’approccio statico (Euclide) e l’approccio dinamico (Erone ) al cerchio, riunificando in questo modo il percorso fra ruote e cerchi.

EUCLIDE: Un cerchio è una figura piana contenuta da una linea tale che tutte le linee rette (segmenti) che giungono ad essa da un punto tra quelli interni alla figura sono uguali fra loro (Definizione 15). E tale punto è chiamato centro del cerchio (Definizione 16).

ERONE: Un cerchio è la figura descritta quando una linea retta (segmento), sempre rimanendo nello stesso piano, si muove intorno ad uno dei suoi estremi fino a tornare alla posizione iniziale.

La voce di Erone esprime un’idea dinamica di cerchio che si avvicina all’immagine di ruota che hanno gli allievi, d’altro canto la voce di Euclide esprime un’idea statica di cerchio che ne mette in luce la proprietà principale: i raggi hanno la stessa lunghezza.