….e se il cerchio tangente avesse il raggio lungo a piacere?…

Nella Situazione D è possiblie un approfondimento verso la generalizzazione del problema delle tre ruote con lo scopo di produrre congetture in problemi di costruzione geometrica.

Produzione di congetture

La situazione può essere aperta con una scheda che pone il problema di costruire il cerchio tangente, a quelli dati con lunghezza del raggio scelto a piacere (scheda cerchi 3).

I ragazzi in genere cominciano disegnando il cerchio tangente di raggio minimo e poi disegnano gli altri. L'esplorazione può essere guidata chiedendo agli allievi:

  • Esiste un cerchio di raggio minimo?

  • Esiste un cerchio di raggio massimo?

  • I centri dei raggi tangenti come sono disposti?

(Prot.1).

Per quanto riguarda la disposizione dei centri alcuni allievi si rendono conto che essi sono disposti su "una linea curva" (si tratta di un ramo d'iperbole), altri "vedono" i raggi su una linea retta, in particolare se i cerchi disegnati sono pochi la "curvatura" è poco evidente.

Condivisione e istituzionalizzazione delle congetture prodotte

Per portare tutti gli allievi a cogliere la possibilità di costruire infiniti cerchi tangenti e capire che i centri di questi cerchi sono disposti su una linea curva si fornisce ai ragazzi una scheda con la soluzione del problema costruita al computer (l'immagine è stata ottenuta utilizzando Cabrì Géometre) nella quale si evidenzia il ramo d'iperbole (scheda cerchi 4). Vengono poi discusse le osservazioni degli allievi (Prot .2) arrivando ad un enunciato generale.

Produzione di nuove congetture

Il percorso può continuare chiedendo agli allievi " Come devono essere i cerchi dati affinchè i centri dei cerchi tangenti siano disposti su una linea retta?".

I ragazzi in genere immaginano di "raddrizzare" la linea curva e si rendono conto che i due cerchi dati devono essere uguali (Prot.3). Se si ha a disposizione un software dinamico di geometria (ad esempio Cabrì Géometre) dalla figura generale si può ottenere questa configurazione particolare e discutere delle proprietà geometriche che si osservano (ad esempio alcune caratterische dei triangoli isosceli).