1) La classe sa che se un rettangolo è su un piano frontale, rimane un rettangolo anche nella rappresentazione prospettica; occorre ancora decidere se questa è l'unica condizione affinchè ciò avvenga.

L’insegnante rilancia il problema "Se un rettangolo non è visto di fronte, secondo voi può rimanere un rettangolo nella rappresentazione prospettica?" (vedi situazione B). Ricordiamo che la classe lo aveva analizzato all'interno di un esperimento mentale, compiendo un'esplorazione dinamica della situazione e aveva intuitivamente risposto "no". L’insegnante conferma che la risposta è "no"; chiede di precisare la formulazione della domanda utilizzando il linguaggio della prospettiva introdotto e di provare a motivare la risposta utilizzando l'insieme di enunciati concordati: richiede così i primi tentativi di "dimostrazione". In questa prima fase è bene che l’insegnante chieda agli alunni di provare a motivare la risposta utilizzando gli enunciati e di comunicargli eventuali tentativi di risposta.

La scelta di condurre i primi approcci alla "dimostrazione" a partire da una domanda anzichè dalla validazione di un'affermazione è motivata dal fatto che abbiamo notato che in questo modo viene sollecitata maggiormente la curiosità dei ragazzi e mantenuto più vivo il loro interesse, quindi il coinvolgimento nelle attività.

La classe, con l'aiuto dell'insegnante, concorda una formulazione del tipo: "se un rettangolo non è parallelo al quadro, può in prospettiva rimanere un rettangolo?" e `prova a "dimostrarla" (vedi D1 dai ragazzi).

La socializzazione delle prime "dimostrazioni" agevola un affinamento del linguaggio di classe. Le formulazioni che fanno riferimento esplicito agli "assiomi" verranno riprese dall'insegnante come punto di partenza per formulare una proposta di canovaccio comune di dimostrazione.

2) Uno degli obiettivi di questa unità di lavoro è l'approccio al sapere teorico e alla dimostrazione in matematica. Per provare a perseguirlo, è anche necessario che l'insegnante introduca linguaggi e metodologie specifiche. A tal fine, riformula il problema in esame sotto forma di affermazione e in linguaggio rigoroso (Teorema 1: Se un rettangolo non è parallelo al quadro, in prospettiva non rimane un rettangolo); guida gli alunni a individuare l'ipotesi e la tesi dell’enunciato; riprende le "dimostrazioni" dei ragazzi e propone un copione comune di dimostrazione.

Tale copione (vedi possibile canovaccio di dimostrazione T1) viene introdotto come sintesi comune di tentativi individuali di dimostrazione, alcuni anche positivi: è quindi un momento di sistemazione di un discorso matematico, all’interno di una teoria matematica.

Gli alunni riepilogano e sintetizzano tale lavoro compilando la scheda 4.

In ultimo l'insegnante deve sottolineare che l'affermazione appena "dimostrata" non deve essere più messa in discussione e può così essere utilizzata insieme agli "assiomi" per validare altre affermazioni.

In classi particolarmente motivate è possibile approfondire ulteriormente il lavoro e giungere alla formulazione della condizione necessaria e sufficiente affinché un rettangolo rimanga in prospettiva un rettangolo: "Un rettangolo rimane in prospettiva un rettangolo se e solo se è parallelo al quadro" (Vedi ).