B ... per l'insegnante

Per rispondere al problema posto dall’insegnante (Se un rettangolo non è visto di fronte, secondo voi può rimanere nella rappresentazione un rettangolo?), gli alunni tengono conto delle proprietà condivise (se un rettangolo è su un piano frontale, allora rimane un rettangolo anche nella rappresentazione prospettica; se un rettangolo non è su un piano frontale può diventare un trapezio nella rappresentazione (per esempio, un rettangolo sui piani "pavimento" o "parete") e si rifanno a osservazioni di vario tipo ottenute considerando, per esempio, le possibili posizioni assunte da un cartoncino rettangolare rispetto al piano del banco. Tutti intuiscono facilmente che la risposta è "no", ma validano le loro affermazioni con argomentazioni legate alla percezione.

È a questo punto che l'insegnante può motivare la necessità di un teoria di riferimento, all'interno della quale poter validare con un ragionamento di tipo deduttivo le congetture emerse.

 

Attraverso questa Unità di Lavoro, sviluppiamo l'approccio al sapere teorico, nel campo di esperienza della "geometria della rappresentazione piana", secondo le seguenti tappe:
  • motivazione della necessità di una teoria (situazione B).
    La domanda posta dall'insegnante è una situazione significativa di problem-solving che nasce come problema di rappresentazione piana di situazioni spaziali, ha contenuto geometrico e consente esperimenti mentali basati su esplorazioni dinamiche.
    Tale situazione porta facilmente alla formulazione di congetture non decidibili per via empirica e, quindi, permette di motivare la necessità delle teorie, intese come strumenti oggettivi di validazione.
  • costruzione in classe di una "teoria" (vedi situazione C).
    L'insegnante deve rendere consapevoli gli alunni che qualsiasi processo logico di tipo deduttivo (dimostrazione) richiede dei "punti di partenza veri"(assiomi) che costituiscono gli elementi "primitivi" di una "teoria". La ricerca degli "assiomi" caratterizza la situazione B.
  • utilizzo della "teoria", approccio alla dimostrazione (vedi situazione D).
    Abbiamo avviato gli alunni al ragionamento logico-deduttivo, come strumento di validazione per situazioni indecidibili su base empirica e di anticipazione di risultati riscontrabili nella realtà. In tal modo hanno un approccio motivato e precoce ai teoremi e ai loro copioni dimostrativi.
  • relatività della verità di un'affermazione in matematica (vedi situazione D2).
    Abbiamo fatto riflettere gli alunni sul fatto che ogni affermazione matematica è sicuramente vera o falsa solo all'interno della teoria in cui è stata validata.

La scelta di affrontare situazioni significative di problem-solving con esplorazioni dinamiche consente di educare la classe a prendere in esame tutti i possibili casi della situazione problematica che sta analizzando e di riconoscere ogni congettura come un particolare "fotogramma" dell'esplorazione dinamica. In queste attività gli alunni producono frasi "se ... allora" fin dalle prime formulazioni in quanto, evocando una situazione dinamica, ne colgono un aspetto e lo formalizzano come uno dei possibili casi.

In questa situazione B affrontiamo la prima tappa dell'approccio al sapere teorico nel campo di esperienza della "geometria della rappresentazione piana": motivazione della necessità di una teoria.

Questa è sicuramente la fase più delicata e difficile del lavoro, in quanto occorre favorire il distacco critico degli alunni dalla particolare situazione problematica e coinvolgerli in discorsi "astratti", impegnativi, di ampia valenza culturale. A questo punto del percorso aumenta il rischio di "scollamento" della classe, con possibile "perdita" della fascia bassa. In base alla nostra esperienza, un elemento determinante per ridurre tale rischio è far leva sull’interesse con cui la classe partecipa alle attività. Noi abbiamo individuato due principali fattori che contribuiscono ad alimentare l’interesse: la consapevolezza di svolgere un’attività impegnativa, specifica della scuola superiore, e l’essere protagonisti. Quest’ultimo aspetto dipende dal contratto didattico stabilito dall’insegnante, che deve, in particolare, valorizzare i singoli interventi.
 Anche in questa attività, è importante che le risposte errate non siano corrette dall'insegnante o scartate.

L'attività prevede, nell'ordine, i seguenti punti nodali:

1) esplorazione dinamica (vedi Modelli Unità I, situazione B2, per l'insegnante): analisi di un problema indecidibile per via empirica. L'insegnante chiede: "Se un rettangolo non è visto di fronte, secondo voi può rimanere un rettangolo?". Questa domanda forza un esperimento mentale con l'obiettivo di far emergere l'indecidibilità della risposta per via empirica. Attraverso l'esplorazione dinamica della situazione proposta, gli alunni formulano alcune congetture e si rendono conto che non è possibile esperire le infinite posizioni che sussistono tra "occhio" dell'osservatore e oggetto "inquadrato". L’insegnante deve allora rendere consapevole la classe che per validare le congetture prodotte è necessario procedere in un modo "diverso": far appello ad un sapere teorico, di cui occorre impadronirsi, e muoversi al suo interno con nuove regole;

2) costruzione in classe del significato dei termini "teorema" e "dimostrazione";

3) introduzione di elementi di un "sapere" teorico a cui riferirsi per validare le dimostrazioni (elementi di geometria della rappresentazione).

L'insegnante introduce i termini opportuni del linguaggio geometrico e gli elementi di prospettiva necessari per rappresentare su un piano, opportunamente scelto, lo spazio tridimensionale (piano di terra; punto di vista; quadro; punto di fuga). Nel corso delle attività l'insegnante deve curare anche l'evoluzione del linguaggio della classe, verificando l'acquisizione del significato dei termini introdotti e sollecitando il loro utilizzo.

Vedi traccia di possibile gestione della motivazione della necessità di una teoria.