Sezione 2: Esplorazione della relazione d'ordine tra le frazioni con numeratore unitario
Una prima esplorazione relativa alle proprietà delle frazioni realizzata in classe attraverso l'uso dello strumento geometrico riguarda la relazione d'ordine tra le frazioni con numeratore unitario.
Nella figura 3 lo strumento viene utilizzato per rappresentare sulla semiretta dei numeri frazioni con numeratore unitario.
Nella costruzione realizzata in figura sono stati tracciati i segmenti generatori delle ripartizioni della lunghezza unitaria individuata sulla semiretta dei numeri rispettivamenete in 2, 3,5, e 7 parti. Sono stati quindi tracciati i segmenti paralleli passanti per il punto 1 della semiretta ripartitrice ai segmenti generatori e sono stati segnati i punti di intersezione con la semiretta dei numeri. Tali punti di intersezione individuano sulla semiretta dei numeri la lunghezza di ciascuna ripartizione effettuata. Tali lunghezze vengono rappresentate attraverso la notazione frazionaria In questo caso la notazione frazionaria viene utilizzata come referente di una operazione , cioè a/b è qualcosa usato come modo di scrivere a:b. Si tratta di una interpretazione specifica del numero razionale che corrisponde a quella di divisione indicata.
Notiamo come l'attività con lo strumento consenta di esplorare e di mettere in evidenza che 1/2 è la frazione più grande tra tutte quelle che hanno numeratore unitario e che le frazioni tendono ad addensarsi man mano che ci si avvicina allo 0. Lo strumento permette inoltre di esplorare e mettere in evidenza la proprietà che regola l'ordinamento di frazioni con numeratore unitario consentendo di giungere alla seguente formalizzazione 1/a>1/(a+1).
Sotto questo punto di vista emerge una nuova interpretazione di numero razionale supportata dall'uso dello strumento: i numeri razionali sono misure o punti sulla linea dei numeri
Come si esegue questa costruzione geometrica
Si traccia il segmento generatore che permette di ripartire in due parti la lunghezza unitaria individuata sulla semiretta dei numeri. Tale segmento unisce il punto 1 sulla semiretta dei numeri con il punto 2 della semiretta ripartitrice. Si traccia il segmento che passa per il punto 1 della semiretta ripartitrice, parallelo al segmento generatore della ripartizione. Il punto di intersezione con la semiretta dei numeri viene identificato con la frazione 1/2.
Analogamente si procede per costruire le frazioni 1/3, 1/5, 1/7.

Fig.3