Sezione 1: Ripartizione di una lunghezza individuata sulla semiretta dei numeri

All'inizio lo strumento può essere presentato agli alunni come uno strumento operativo per compiere ripartizioni di lunghezze, prescindendo da aspetti metrici (metodo del falegname).
In figura 2 viene riportato il metodo operativo coinvolto nella ripartizione in 6 parti di una lunghezza L qualsiasi individuata sulla semiretta dei numeri.
Come si procede per compiere la ripartizione

Sulla semiretta ripartitrice si sceglie un segmento di lunghezza arbitraria e lo si riporta un numero di volte pari al numero di volte in cui si vuole ripartire la lunghezza L (in questo caso, quindi, sei volte, individuando così, sulla semiretta ripartitrice, i sei punti 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Si congiunge il punto L della semiretta dei numeri con il punto 6 della semiretta ripartitrice, ottenendo il segmento in arancione della figura, detto segmento generatore della partizione.
Si tracciano, da ciascuno dei punti 5, 4, 3, 2, 1, i segmenti paralleli al segmento generatore della partizione, che individuano, sulla semiretta dei numeri, la ripartizione in sei parti della lunghezza L. 
Fig.2
  

 

Osserviamo come lo strumento incorpori un metodo di partizione che è completamente controllabile sul piano percettivo attraverso la costruzione del segmento generatore della ripartizione (congiungendo l'estremo della lunghezza da ripartire con il punto sulla retta ripartitrice che indica il numero di partizioni da effettuare) e tracciando successivamente i segmenti ad esso parallelo passanti per i punti da 1 a 5 sulla retta ripartitrice.
All'attività di ripartizione mediata dalla strumento possono essere collegati vari tipi di riflessione.
Una prima riflessione è connessa alla verifica della indipendenza della ripartizione dall'unità di misura della semiretta ripartitrice e dalla sua inclinazione rispetto alla semiretta dei numeri.

 
Come si esegue la verifica
Si tracciano due semirette ripartitrici con differenti unità di misura. Si esegue la ripartizione del segmento di lunghezza L rispetto alle due semirette ripartitrici secondo le modalità spiegate in fig. 2 e si verifica che i segmenti di ripartizione costruiti attraverso le due semirette ripartitrici vengono a coincidere rispettivamente negli stessi punti sulla semiretta dei numeri.
Fig.2.1
  

 

La fig 2.1 mostra come usando due semirette ripartitrici con unità di misura diverse per ripartire la stessa lunghezza L sulla semiretta dei numeri si ottenga la stessa ripartizione.
Una seconda riflessione è connessa al fatto che attraverso il metodo operativo usato si arriva a compiere la ripartizione prescindendo completamente da compiere operazioni aritmetiche con i numeri. Ciò porta a considerare il problema di come indicare la lunghezza di ciascun di ciascuna parte ottenuta attraverso la ripartizione.