La richiesta di scrittura in linguaggio naturale dell'enunciato ha lo scopo di accertare la padronanza delle proprietà delle frazioni equivalenti dal punto di vista numerico dopo la discussione dell'attività precedente.

L'esperienza condotta ha messo in evidenza che:

• l'appropriazione della proprietà numerica delle frazioni equivalenti può risultare non banale: le difficoltà incontrate nel superare l'ancoramento alla rappresentazione possono non essere completamente superate dal confronto in classe (protocollo 1 commentato)
• la scrittura dell'enunciato in linguaggio naturale può contenere la sequenza di pensiero prima di giungere ad una generalizzazione sintetica (protocollo 2), oppure presentarsi subito in forma sintetica (protocollo3 commentato)

La traduzione dell'enunciato in linguaggio algebrico, pur essendo una consegna ormai abbastanza consolidata per il percorso svolto in precedenza, comporta un'analisi ed una riflessione accurata sulla formalizzazione che invece può risultare affetta da errori, in quanto può venire a mancare la corrispondenza tra pensiero e correttezza formale.

Generalmente la produzione dell'enunciato in linguaggio algebrico non è immediata, ma frutto di un processo che tiene conto della passata esperienza, di lavoro sia sulla rappresentazione grafica, sia sull'enunciato in linguaggio naturale, e procede per passi graduali prima di giungere ad una formulazione di sintesi.

Il processo può essere di tipo additivo o moltiplicativo e di solito parte dalla frazione generatrice.

Analizziamo alcuni protocolli significativi interpretando il processo di costruzione.

• " 2/3 = (2+2)/(3+3) = (2+(4))/(3+(6)) = …

Le frazioni equivalenti, per essere tali, hanno per forza i numeri (num e den) multipli fra loro.

(a*2)/(b*2) (n*a)/(n*b)"

Dall'esempio numerico con struttura additiva, all'enunciato in linguaggio naturale con passaggio alla struttura moltiplicativa, alla formalizzazione … con perdita dell'uguaglianza (a/b = (n*a)/(n*b)

• "Le frazioni equivalenti a un'altra frazione hanno come numeratore e denominatore dei multipli della frazione a cui equivalgono; ad es: 6/4 = 12/8 = (6*2)/(4*2)

  A/b equivale a (A*2)/(b*2) equivale a ((A*2)+A)/((b*2)+b) equivale a ((A*2)+A+A)/((b*2)+b+b) …

  A/b equivale a (A*2)/(b*2) equivale a (A*(2+1))/((b*(2+1)) … (A*n)/(b*n) "

  Interessante l'evoluzione graduale del processo di pensiero e di trasformazione che conduce al risultato finale.

• "Riportando la frazione di partenza sulle due semirette si ottengono le equivalenti.

  A/B + A/B = (A+A=C)/(B+B=D) C/D + A/B = …

  (A*2)/(B*2) … (A*N)/(B*N) "

  In questo esempio il processo è fortemente influenzato dal rapporto con la rappresentazione grafica e con l'azione compiuta di spostarsi di A sulla semiretta dei numeri e di B su quella ripartitrice per individuare un segmento generatore di una frazione equivalente ad A/B. Il ragionamento corretto non corrisponde ad una formalizzazione matematicamente accettabile.

L'ultimo esempio in particolare si presta ad una riflessione, importante anche per non ingenerare errori nel calcolo frazionario.

L'insegnante può richiamare che la scrittura A/B + A/B può essere interpretata come 2 volte A/B, 2*A/B, ma 2*A/B = (per il P2) 2*A*1/B = 2A*1/B =(sempre per il P2) (2A)/B che è diverso da (2A)/(2B) = (A*2)/(B*2)

L'insegnante potrà analizzare le diverse formalizzazioni elaborate dagli alunni e, nel caso di inesattezze, superarle attraverso la messa in evidenza delle contraddizioni tra scritte e giustificazioni basate sui principi e le proprietà della teoria.