Comportamento degli alunni rispetto alla consegna: “sotto quale condizione a/b = 2?”

• Non individuano la condizione

  Pochissimi non riescono ad individuare la condizione o perché non sono precisi nella rappresentazione grafica o perché traggono conclusioni sbagliate dalla frazione che correttamente hanno individuato (per es: individuano la frazione 4/2 e deducono che a/b = 2 se a>b oppure se tra a e b c’è la differenza di 2 e non verificano altre situazioni) o ragionando su frazioni uguali ad 1 pensano di raddoppiarle, ma raddoppiano sia il numeratore sia il denominatore, non riflettendo sulla frazione ottenuta.

• Individuano una sola condizione numerica esplorando lo schema grafico
  a/b = 2 se a =4 e b =2

• Individuano la condizione esplorando lo schema grafico
  - Per tentativi: si rappresentano frazioni cercando di avvicinarsi al 2, si individua quella che serve e si deduce la condizione.
  - Si traccia il segmento generatore di una o due frazioni unitarie e lo si riporta sul 2 della semiretta dei numeri, si scrive il nome della frazione e si deduce la condizione.
  - Si traccia il segmento che unisce il 2 della semiretta dei numeri all’1 della semiretta ripartitrice, si cercano parallele a questo segmento in corrispondenza di numeri interi sulle due semirette, si scrive il nome delle frazioni così individuate, si deduce la condizione.
  

• Ipotizzano la condizione e la verificano sul grafico
  

• Ipotizzano la condizione e la motivano:
  - cercando di dimostrare per via numerica (protocollo 6)
  - cercando di dimostrare per via algebrica (protocollo7)

• Individuano, senza motivare, una condizione sbagliata:
  "poiché 12/4 = 3, se b > 4 12/b > 3"
  e non verificano sullo schema grafico, oppure verificano sullo schema grafico e correggono
  
• Individuano la condizione sullo schema grafico per via geometrica
  " ho unito 3 con 1 e mi si sono spostata parallelamente fino a 12 sulla retta dei numeri, in corrispondenza della retta ripartitrice c’è il numero 4, sarebbe così se ci fosse =. Visto che c’è maggiore, devo aumentare l’angolo formato dal segmento generatore della frazione con la retta dei numeri, ma il numeratore 12 è fissato, allora devo ruotare la punta della squadra trovando valori più piccoli di 4, ossia se b è più piccolo di 4, 12/b è maggiore di 3."
  
• Individuano la condizione attraverso ragionamenti e prove
  " 12/4 = 3, perché 12 è il triplo di 4, se b è uguale a 3 12/3 = 4, è maggiore di 3, se b = 2 12/2 = 6, più b è piccolo, più la frazione è grande. La condizione è b minore di 4"
  
• Individuano la condizione attraverso teoremi e ragionamenti
  "Per il teorema 3 generalizzato:n*b /b = n, se b = 4, 12/4 =3, se aumento b la frazione diminuisce, perché 12 non cambia, allora la condizione è
  b < 4 )