A. Comportamenti degli alunni rispetto alla scheda Fraz 6.

Gli allievi non hanno difficoltà a determinare le condizioni per cui a/b = 1, anche se qualcuno "soffre" l’apparente contraddizione tra una certezza acquisita (a lettere diverse corrispondono numeri diversi) e ciò che si è scoperto (a e b devono essere uguali):
" secondo me a/b non può essere uguale a 1 perché in questo caso a = b e a e b per legge matematica sono diverse", che viene poi risolta nella discussione in classe dalla consapevolezza di cosa significa "condizione":
"A cifra uguale corrisponde lettera uguale, ma a e b non sono uguali e perciò è impossibile: a =5, b = 3 5/3 = 1 (NO! Impossibile) ma se a = b (5 = 5) 5/5 = 1 (SI’!) ".
Capito che se a = b, allora a/b = 1, è facile supporre che se a > b, allora a/b > 1; gli allievi danno sia motivazioni aritmetiche (protocollo 1), sia motivazioni geometriche (protocollo 2)

B. Comportamenti degli alunni rispetto alla scheda Fraz 7.

Esercizio n.4: Verifica su qualche numero che: se a > b a/b = 1 + (a-b)/b

• Non sanno cosa fare
  Se l’insegnante passando tra i banchi nota il disorientamento degli allievi di fronte ad una scrittura oggettivamente complessa, li indirizza suggerendo loro di dare un valore numerico alle lettere, con questo input gli allievi riescono a progredire nel lavoro
• Interpretazione sbagliata della scrittura
  La scrittura viene letta come (1+(a-b))/b e quindi ritenuta falsa, sarà l’insegnante ad indicare gli allievi la lettura corretta affinché possano progredire nel lavoro
  
• Verifica sullo schema grafico
  Gli allievi, dopo aver sostituito valori numerici, rappresentano sullo schema grafico la frazione e controllano la veridicità dell’uguaglianza, ripetendo una o più volte questo iter
  
• Verifica attraverso ragionamento (protocollo 3)
  

Esercizio n.5 : Ordina i seguenti numeri, dal più piccolo al più grande, motivando la tua scelta : 4/3, 3/5, 1/7, 6/6, 1/10

• Ordinamento dopo aver rappresentato i numeri sullo schema grafico
  
• Ordinamento seguendo "regole" inventate, più o meno esplicitate
  "per ordinare frazioni dalla più piccola alla più grande basta mettere in ordine i numeratori dal più piccolo al più grande"
  “più è grande il numeratore più è grande la frazione"
  "se la frazione è minore di 1, più il denominatore è distante dal numeratore (ossia maggiore è la differenza tra denominatore e numeratore), più la frazione è piccola"
  Qualcuno poi verifica sullo schema grafico e corregge l’ordinamento. Nel momento della correzione è interessante discutere in classe la verità o falsità di queste regole.
  
• Ordinamento facendo riferimento in parte a postulati o teoremi (anche se non esplicitati) (protocollo 4)
  
• Ordinamento facendo riferimento esplicito a postulati e a teoremi (protocollo 5)