E’ bene che l’insegnante insista molto sul significato di cosa si intende per b-esima parte di a nel momento della rappresentazione, anche perché qualche allievo può portare il segmento generatore sul 2 della retta ripartitrice, perdendo di vista il significato delle sue azioni.

Non tutti gli allievi si impadroniscono subito della rappresentazione della frazione a/b come a volte 1/b. In questo caso è necessario, prima di passare alla rappresentazione contemporanea dei due metodi, fare vari esercizi per rappresentare frazioni numeriche in questo modo, facendo riflettere sul fatto che le azioni che si fanno sullo schema grafico corrispondono proprio al significato della frazione e che la semiretta ripartitrice ora diventa semiretta moltiplicatrice.

Quando tutti gli allievi saranno sicuri dei due metodi, si farà rappresentare la stessa frazione con i due diversi significati sullo stesso schema grafico per evidenziare il fatto che il punto che rappresenta la frazione coincide nei due casi.

Un aspetto un po’ delicato di cui tener conto è che la coincidenza dei punti, rappresentati con i due sistemi grafici, si verifica se le rappresentazioni sono svolte con molta precisione: questo non sempre accade; tuttavia il fatto che alcuni compagni ottengano punti coincidenti unito all’insistenza sul significato delle due rappresentazioni risultano convincenti e conducono a migliorare la precisione, fino, a volte, a "forzare" la coincidenza.

Questo contesto quindi, può rappresentare anche un primo momento per riflettere esplicitamente con gli alunni sul sistema di rappresentazione, dei suoi vantaggi nell'aiutare a "farci vedere/scoprire" comportamenti e proprietà, ma anche dei limiti.

Una strumentazione adeguata e la precisione "fine" nell'esecuzione sono molto importanti, ma è bene tener presente a livello adulto almeno in questa prima fase, che a monte c'è un problema più sostanziale che riguarda il conflitto tra l'aspetto figurale-fisico e l'aspetto concettuale astratto. In tempi successivi (vedi frazioni equivalenti), questo tema potrà essere esplicitamente portato all'attenzione dei ragazzi e diventare oggetto di riflessione sulle potenzialità del pensiero astratto.

La formalizzazione dell’enunciato (l’enunciato viene scritto solo in forma algebrica perché la verbalizzazione è abbastanza faticosa, se non si riduce alla traduzione letterale della formalizzazione), che diventa il P2 della teoria, è un ulteriore momento di riflessione sull’uso delle lettere nonché di consolidamento; se alcuni allievi nella loro formalizzazione dimostrano incertezze e fraintendimenti sarà utile far fare esercizi simili a questi:

• scrivi una frazione numerica del tipo a/b, del tipo a/a, del tipo (n+2)/n, …

• quale significato ha la frazione (a+1)/a? Come si rappresenta sullo schema grafico?

E’ bene che gli allievi si abituino a scrivere i postulati ed i teoremi che via via si costruiscono su uno stesso foglio del quadernone in modo da avere sempre presente sia una sintesi del lavoro fatto sia la consapevolezza di ciò che si sta costruendo.

Durante le attività l’insegnante condurrà gli alunni ad una meta-riflessione sulle operazioni che stanno compiendo rispetto alla diversità tra dimostrare e verificare.

Lavorando con frazioni con numeratore superiore a 1 si incontreranno anche frazioni improprie.

Si tratta di un momento delicato in cui è importante far riflettere gli alunni sul significato che hanno tali frazioni e farle rappresentare in modo da esplicitare e superare concezioni "fuorvianti" pregresse.

Per gli allievi il modello di frazione è quello della frazione propria, in cui per es 2/3 si può interpretare come 2 su 3 o come una tavoletta di cioccolato divisa in tre parti uguali di cui se ne prendono 2, o come una torta divisa in tre parti uguali di cui se ne mangiano due fette.
Quando si passa alle frazioni improprie, ad es 4/3, queste concezioni non reggono più e antiche forme di rappresentazione possono riemergere evidenziando difficoltà ad attribuire significato alla notazione frazionaria; la rappresentazione grafica del falegname consente di superare il disorientamento caratterizzando questo tipo di frazioni come quelle che superano l'unità.