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Scheda 4A

Esercizio 1

Calcola la probabilità che in una famiglia nascano tre figli, tutti maschi.

(Indica con ordine tutte le combinazioni possibili e applica la formula:

Esercizio 2

Calcola la probabilità che in una famiglia con quattro figli, nascano tre femmine e un maschio, senza tenere conto dell' ordine.

Si capisce che la probabilità di un evento alcune volte sarà uguale a 0: per esempio la probabilità dell' uscita del numero 7 nel lancio di un dado é zero perché sul dado non c' é il numero 7.

Altre volte invece la probabilità può essere uguale a 1; quando l' evento si realizza sempre, cioè è certo; per esempio la probabilità che lanciando un dado venga un numero compreso tra 1 e 6, estremi inclusi, é 6/6 cioè 1; l' evento è certo.

La probabilità di un evento è sempre minore o uguale a 1, perché é data dal rapporto

e i casi favorevoli sono sempre minori o uguali dei casi possibili.

Possiamo quindi concludere che la probabilità di un evento ha un valore compreso tra 0 (quando l' evento é impossibile) e 1 (quando l' evento é certo).

Esercizi

1) Vogliamo calcolare la probabilità che lanciando un dado venga un numero pari.

- Quanti sono i casi possibili?

- Quanti sono i casi favorevoli?

- Qual é la probabilità che esca un numero pari?

2) Calcola la probabilità che lanciando un dado esca un numero primo.

3) Calcola la probabilità che lanciando un dado esca un numero più piccolo di 4;

4) Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte (fra queste 12 sono "figure"). Vince un punto chi estrae la carta che ha dichiarato in precedenza scegliendo tra "figura" e "non figura".

- Su quale delle due possibilità punteresti?

- Perché?

5) Si estrae una carta da un mazzo da 40 carte. Vince un punto chi estrae la carta del "seme" (fiori, cuori, ..... ) che ha dichiarato in precedenza.

- Su quale seme punteresti?

- Perché?

6) Calcola la probabilità di estrarre una carta di cuori da un mazzo di 40 carte;

7) In un sacchetto ci sono 10 caramelle alla menta e 30 alla liquirizia (non distinguibili).

Calcola la probabilità di estrarre a caso una caramella alla menta.

8) La frequenza delle persone mancine sul totale della popolazione é 1 /20. Qual é la probabilità che una persona non sia mancina?

Abbiamo detto che nel lancio di un dado la probabilità di uscita di una faccia (ad esempio il 2) non é influenzata dal fatto che in lanci precedenti quella faccia sia uscita varie volte o nessuna volta. Ciò é in contrasto con l' idea di senso comune che il "caso" in qualche modo debba "compensare" le troppe uscite del 2, favorendo l' uscita delle altre facce..... anche se é invece ragionevole che dopo, ad esempio, 5 uscite consecutive del 2, il 2 abbia ancora probabilità 1/6 di uscire!

Vediamo perché é ragionevole.

Ad esempio supponiamo di aver già effettuato 5 lanci di un dado e che sia sempre uscita la stessa faccia: il 2. Quindi i lanci hanno dato luogo alla sequenza:

Siamo portati a credere che al successivo lancio sarà molto difficile che esca ancora il 2.

Vediamo di ragionare su ciò che succede al momento di lanciare il dado la sesta volta, che cosa può influire sull' uscita di una faccia? Il fatto che il dado sia truccato, il fatto che il giocatore bari, lanciando il dado in modo particolare.

Se il dado non é truccato e il giocatore non bara, allora la probabilità di uscita di una faccia é sempre 1/6; infatti il dado non può "ricordarsi" quello che é successo nei lanci precedenti e quindi si trova esattamente nelle stesse condizioni in cui si trovava al 1° lancio, al 2°, e così via. Quindi la probabilità di uscita di una faccia non cambia nei lanci successivi.

Facciamo un altro esempio: il lancio di una moneta. Anche in questo caso possiamo essere portati a dire che dopo una sequenza di uscite di testa, é più probabile che esca croce. Come nel caso del dado, la moneta non può ricordarsi quello che é successo nei casi precedenti e quindi la probabilità di uscita di T in tutti i lanci é sempre 1/2.

Se invece noi consideriamo la probabilità che lanciando un certo numero di volte, ad esempio 5, una moneta si ottenga una sequenza tutta di T facciamo un' affermazione che riguarda tutta la sequenza dei 5 lanci e non più il singolo lancio. Sappiamo che la probabilità della sequenza TT é 1/4 e così la probabilità della sequenza TTT é 1/2*1/4, cioè 1/8 e così via .. la probabilità della sequenza TTTTT é 1/8*1/2*1/2=1/32.

L' idea che dopo 4 teste consecutive la probabilità che esca ancora testa debba essere minore di 1/2 dipende dal fatto che si confonde tale probabilità con la probabilità della sequenza TTTTT (in media, una sequenza del genere si presenta solo una volta ogni 32 sequenze di 5 lanci ...)