Tutte le attività d'insegnamento - apprendimento proposte nell'unità sono collettive in quanto riferite in senso stretto al gruppo classe costituito da insegnante ed allievi. Tutti i soggetti prendono parte all'attività, ma i motivi sono diversi e, pur mirando ad una maggiore omogeneizzazione attraverso le discussioni, resteranno diversi. Poiché accettiamo ed anche valorizziamo questa diversità, non ci preoccupa il problema epistemologico della possibilità di accedere ai motivi individuali. Il nostro problema è quello di determinare un nucleo centrale irrinunciabile la cui condivisione cosciente ( reale o ipotizzata ) è il motivo o il complesso di motivi del progetto. Nelle nostre intenzioni i motivi, pur essendo in primo luogo degli insegnanti, sono destinati ad essere "appropriati" da parte degli allievi, a quel livello di coscienza, che è loro adeguato, attraverso la scelta delle attività più opportune.

I motivi sono di livello diverso, ma il loro intreccio è strettissimo. Proviamo ora ad enunciarli dai più generali ai più specifici:

A. ATTEGGIAMENTO NEI CONFRONTI DELLA CONOSCENZA

La conoscenza è un processo sociale, che si sviluppa attraverso il contributo di individui diversi che operano insieme. Questo atteggiamento ha importanti conseguenze sul piano didattico:

• progettazione e realizzazione di significative attività collettive per la classe;
• progettazione e realizzazione di attività centrate sulla collocazione del singolo allievo nella storia sia del gruppo classe, sia del gruppo sociale più ampio.

B. ATTEGGIAMENTO NEI CONFRONTI DELLA MATEMATICA

All'interno di questa tematica emergono subito diversi problemi:

• il rapporto matematica-realtà. Questo ha determinato la scelta di un campo di esperienza, i meccanismi e gli ingranaggi, tipicamente extramatematico. Gli ingranaggi, i meccanismi che li contengono e le figure che consentono una loro modellizzazione geometrica sono gli artefatti presi in considerazione in questo lavoro. La scelta di un contesto didattco ricco di oggetti concreti presenta limiti e vantaggi per l'attività matematica. Tra i limiti ricordiamo il pericolo che gli oggetti concreti inducano processi cognitivi di tipo quotidiano e non matematico. Tra i vantaggi osserviamo la potenzialità dell'esplorazione dinamica guidata della realtà come passo preliminare verso esplorazioni dinamiche mentali, fondamentali per lo sviluppo del ragionamento matematico. Pertanto tutte le unità di lavoro relative a questo campo d'esperienza (Unità di lavoro L ed M di "Linguaggi" e M del progetto "Modelli") hanno come preludio l'osservazione, la descrizione e l'esplorazione di oggetti contenenti ingranaggi.
• Il rapporto teorico-empirico. La matematica è parte della conoscenza teorica e, dunque, non può ridursi all'analisi anche attenta di dati o fenomeni. Il suo scopo è sempre, comunque, quello di inserire il nuovo in un sistema teorico esistente o, quando questo non è possibile, di costruire un sistema teorico nuovo. L'elemento caratterizzante le tre unità di lavoro è la tensione verso la costruzione di un sapere teorico. Nella unità proposta per i bambini del primo ciclo (Unità di lavoro L di "Linguaggi" ) l'esplorazione dinamica degli oggetti o delle rappresentazioni degli oggetti porta alla assunzione di connettivi linguistici fondamentali nella produzione di enunciati di tipo generale (se…allora, poiché…allora). L'unità di lavoro, proposta per il secondo ciclo della scuola elementare (Unità di lavoro M di "Linguaggi" ) si caratterizza per la costruzione sociale di una teoria: il funzionamento degli ingranaggi. L'attenzione della unità di lavoro proposta per la scuola media (Unità di lavoro M del progetto "Modelli") è su problemi di costruzione geometrica relativi a cerchi tangenti che modellizzano ruote dentate. Anche in questo caso l'obiettivo è quello di validare con ragionamenti generali le osservazioni fatte empiricamente.

Queste unità di lavoro mostrano come il campo d'esperienza degli ingranaggi consenta l'approccio precoce ai teoremi, con l'enunciazione di una teoria, la produzione di enunciati e la costruzione delle relative dimostrazioni. E' chiaro che la transizione dalla matematizzazione alla costruzione di enunciati è un problema particolarmente delicato che, alla scuola elementare o nel primo anno della scuola media può essere solo avviato, anche se appare particolarmente utile che in questa fascia scolare si prepari il terreno.

C. LA COSTRUZIONE DEI CONCETTI DELLA GEOMETRIA

L'attività sul cerchio viene riconosciuta come campo d'esperienza in relazione a quello degli ingranaggi, infatti nella rappresentazione grafica di ingranaggi piani con ruote complanari si passa dal disegno a mano al disegno con il compasso centrato per tentativi fino al disegno con il compasso per risolvere un problema di costruzione geometrica (Unità di lavoro M del progetto "Modelli"). La presenza di oggetti fisici manipolabili e le loro rappresentazioni e la discussione di problemi di funzionamento e di problemi di costruzione geometrica chiama in gioco almeno due teorie nel processo di modellizzazione matematica: la geometria di Euclide e la cinematica di Erone.