storia di una ricerca

LEZIONE DEL 26/11/01

CONSEGNA: Scheda di lavoro 2

GRUPPO: ALESSIO, GIANLUCA e STEFANO.
Memoria: Alessio
Orientato al compito: Gianluca
Orientato al gruppo: Stefano

1° ESERCIZIO
Gli studenti leggono, insieme, la prima richiesta della consegna proposta. Ultimata la lettura, STE chiede ai compagni il prezzo di un pacchetto di sigarette. Poiché non tutti i pacchetti hanno lo stesso costo, GIAN propone di considerare le più care e le meno costose e di individuare un prezzo medio.
Richiami di schemi e di situazioni relativi al campo concettuale “media”.
STE suggerisce di considerare come prezzo approssimato per un pacchetto 5000£, senza necessariamente fare la media, “perché le sigarette più care non le fuma nessuno.”
STE sembra attingere a situazioni di riferimento proprie della media ponderata, pur non facendovi direttamente cenno, comportamento simbolo di un atteggiamento non cosciente. Il suo intervento risulta molto interessante se si considera il periodo scolastico in cui la definizione di media ponderata viene introdotta, infatti, se non ricordo male, non è un argomento contenuto nei programmi delle scuole medie inferiori e dei primi anni delle superiori. Se ciò fosse effettivamente vero, la portata del ragionamento di STE risulterebbe enorme, perché con un ragionamento strettamente connesso al mondo reale, si pongono autonomamente le fondamenta per la definizione rigorosa di un importante concetto matematico.
Quindi si fa dare il foglio e rilegge autonomamente il problema.
STE: “ 2 pacchetti al giorno, 2*30 sono…., perché un mese in media ha 30 giorni.”
GIAN: “ In un mese fuma 60 pacchetti.”
STE: “ 5000*60, trovi quello che risparmia in un mese.”
GIAN intanto segue il ragionamento di STE, ripetendo le sue parole e scrivendo.
Manifestazione della funzione programmatrice del linguaggio e in GIAN anche di quella di chiarimento.
STE: “ 5000*60*12 sono 3600000, cioè il risparmio in un anno e faccio il 4%.”
GIAN: “ Il 4% è 144000.”
STE: “ Allora in un anno guadagna 144000.”
GIAN: “ No.”
STE prova quindi a spiegargli che l’ interesse su una certa somma di denaro è pari al guadagno che da essa si trae annualmente.
GIAN stimola in STE la funzione di chiarimento, che fa accedere anche l’ interpellante al campo concettuale “ risparmio” ed ad alcuni suoi schemi.
ALE inizia ad interessarsi al discorso solo adesso, cercando di recuperare quanto perso del ragionamento dei suoi compagni, ma senza partecipare attivamente alla costruzione della soluzione.
STE: “Quindi i soldi risparmiati sono questi più questi, anzi risparmiati questi (e indica 3600000 ) accumulati questi ( e indica 144000 )…..per 20 anni, sono 74000000.”
STE sembra consapevole della necessità di una buona padronanza della terminologia nella vita pratica e manifesta di saper gestire a tale scopo la funzione deittica. La buona conoscenza dei termini nell’ immediato seguito si dimostra fondamentale anche per la determinazione della situazione problematica.
STE dice quindi che un risparmio più redditizio è andare in bicicletta invece che in macchina, perché per redditizio occorre intendere, “dal quale guadagni di più.”
ALE: “ Ma a cosa si riferisce quando intende più redditizio?”
STE sembra, ad una prima osservazione, un tipo un po’ prepotente, non da molto spazio alle idee degli altri, ritiene il suo ragionamento il solo ad essere corretto e stronca, senza possibilità di replica quelli degli altri.
ALE: “ Cominciamo a scrivere quello che abbiamo fatto in modo letterale.”
Intanto i suoi compagni chiamano il professore ed insieme discutono sulla forma di investimento più redditizia. Il professore spiega che con tale termine si intende un modo più vantaggioso per sfruttare i soldi risparmiati non fumando, sminuisce così l’ idea erronea di STE relativa alla benzina e, contemporaneamente, risolve il dubbio che essa aveva alimentato in ALE.
L’ intervento del professore in zona di sviluppo prossimale ha lo scopo di chiarire il significato della parola frutto della discussione.
Il gruppo decide quindi di passare all’ esercizio successivo.

2° ESERCIZIO
STE si chiede quanti km distano le città di Washington e di Los Angeles l’una dall’ altra, prende il libro di geografia e misura sulla carta la “distanza in linea d’ aria”, quindi, sfruttando il rapporto di scala indicato, esegue l’equivalenza necessaria per individuare il valore relativo alla distanza reale; tutto il procedimento è accompagnato dall’ esposizione ad alta voce del ragionamento che ne è alla base.
STE: “ Ci sono 12*30000000….360000000 di m, per avere i km dobbiamo dividere per…m, dam, hm…, allora ci sono 360000 km.”
Il termine distanza spinge immediatamente STE a recuperare schemi e rappresentazioni relativi a questo concetto, che però esulano un po’ dal contesto.
STE: “ Ma cosa dobbiamo trovare?”
GIAN: “ Bisogna fare il grafico.”
STE: “ Sì, ma di cosa?”
Emerge il problema della comprensione del testo e del passaggio alla situazione problematica.
Chiamano il professore.
STE: “ Non ho capito cosa devo fare. Può servire la distanza?”
PROF: “ E’ un dato in più, ma per fare il grafico e cioè vedere come varia la distanza non è essenziale.”
Grazie all’azione del professore in zona di sviluppo prossimale, viene recuperato il soggetto dell’ esercizio, cioè la distanza, ma non avviene comunque la comprensione del problema, perché la strategia indicata individua lo spazio percorso dall’ aereo, non come varia la sua distanza dell’ aeroporto di partenza, infatti….
GIAN disegna 2 rettangoli che rappresentano le 2 piste e propone la seguente strategia: calcolare la distanza fra le 2 piste e aggiungere ad essa i km che l’aereo compie in più sorvolando per 10 volte l’aeroporto di arrivo: “ Se hai il lato della pista, sai quanti km in più fa.” ( Intanto percorre col dito il contorno del quadrato rappresentante la pista di atterraggio.)
Il ragionamento prende l’ avvio da un segno iconografico e sfruttando, nella sua evoluzione, anche la gestualità, come strumento di chiarimento a se stesso e agli altri.
STE non ascolta il ragionamento di GIAN ed elabora una sua strategia.
STE: “ Secondo me, prima va piano, così ( e intanto disegna una specie di parabola ) poi costante ( e disegna una linea orizzontale ).

GIAN: “ Allora qui accelera ( e indica col dito il pezzo “di parabola”).”
STE: “ Sì, perché quando parte va piano.”
GIAN riflette e cambia idea: “ Devi farlo così perché come fai te sembra che si fermi di botto, invece devi farlo così, che mantiene la stessa velocità.”
Manifestazione della funzione di controllo.
E intanto produce il seguente disegno:

STE: “ No, allora è così.” E traccia

“ Perché qui rallenta ( indica l’ ultimo tratto della curva ) e poi quando arriva qui scende giù di colpo.”
GIAN: “ Ma non scende mica in picchiata ( fa il gesto con le mani del cadere in picchiata ).”
STE: “ No, ma quello lì è il tempo e il tempo rimane così, si blocca. Questo è il tempo rispetto alla velocità non è mica l’ aereo!”
GIAN: “ No, questo è il tragitto dell’ aereo.”
STE: “ Ma a noi non interessa.”
GIAN: “ E cosa ti chiede, scusa?”
STE: “ Il grafico.”
Manca ancora in GIAN la comprensione del problema.
ALE rilegge ad alta voce il testo della consegna a conferma della risposta di STE.
STE intanto pensa: “ Tempo rispetto a…”
ALE: “ Tempo e spazio.”
STE: “ Sì.”
Il concetto di grafico è spesso confuso con una delle sue più peculiari situazioni di riferimento, cioè viene inteso come descrizione del moto di un oggetto o meglio della sua traiettoria, come dimostra tutta la discussione precedente, in cui tale idea forvia il procedere di GIAN. Non è così per ALE e STE, che, operando sul grafico, recuperano i relativi schemi: la necessità di introdurre gli assi cartesiani
Provano a capire come si comporta l’ aereo durante il volo, GIAN: “ Parte, fa la curva ( indica la “ parabola”), poi mantiene un po’ questa velocità fino a che arriva sulla pista, poi fa i giri.”
STE: “ Sì, ma mica posso disegnare i giri !”
GIAN: “ Sì, quindi mantiene la stessa velocità.” Propone quindi il seguente grafico
STE: “ Intanto che gira lo spazio rimane fermo e il tempo continua a passare.”
L’ errore di STE è quello di non riuscire a tradurre graficamente in modo corretto il suo ragionamento , fino a qui, infatti il grafico, per tutti i componenti del gruppo, è solo un modo per descrivere materialmente il pensiero, non un ambito di ragionamento vero e proprio.
GIAN continua il suo ragionamento: “ Qui va giù di colpo però.” E completa in questo modo:

(figura 1)

ALE ribatte l’affermazione di STE e di GIAN: “ Ma l’aereo non gira mica su se stesso, deve avere un certo raggio e lo spazio allora deve aumentare.” E disegna:

(figura 2)

ALE: “ Non può essere così, (e indica la figura 1), il tempo diminuisce, mentre così il tempo aumenta (indica la figura 2).”
Utilizzo delle funzioni di chiarimento e contrattuale, con l’ ausilio della gestualità.
GIAN: “ Così aumenta la velocità.”
ALE: “ No aumenta il tempo, lo spazio è sempre uguale, anche per logica: se scendi nel grafico il tempo diminuisce.”
Questa parte della discussione costituisce un momento di dinamica interno/esterno: a partire dal segno di figura 1 prodotto da GIAN, ALE recupera il concetto di verso, legato al campo concettuale “assi cartesiani” e quindi a quello di “grafico”. GIAN invece è sempre bloccato sul suo punto di vista.
GIAN: “ Non è così, perché quando arriva sulla pista rallenta un po’, ci gira sopra e quindi scende.”
STE: “ Gira sull’aeroporto.”
GIAN: “ E’ la stessa cosa.”
STE: “ No, l’aeroporto è tutto il complesso.”
Ancora l’ importanza della terminologia ed utilizzo della funzione deittica.
GIAN: “ Comunque inizia a rallentare perché prima o poi dovrà scendere.”
Ripetono cosa rappresentano le varie parti del grafico per capire se rispecchia effettivamente quello che accade.
Funzione di chiarimento e di controllo stimolate dalla necessità di un confronto con la realtà.
GIAN continua a pensare che il suo sia il grafico esatto e i suoi compagni abbiano torto.
ALE: “ Ma il tempo non diminuisce, anzi aumenta.”
GIAN, intanto, continua a ragionare sul grafico, esponendo ad alta voce i suoi pensieri.Afferma quindi che il fatto che il tempo non diminuisce non centra: “Quando facevamo i grafici…., mica diminuisce il tempo se diminuisce il grafico.”
Ciò dimostra che GIAN non riesce a recuperare le giuste situazioni di riferimento, nonostante l’ importante contributo al suo sblocco fornito da ALE.
Chiamano il professore.
PROF: “ Se il tempo è sull’asse delle x, per esempio, questo punto quanti quadretti sono?”
GIAN: “ Di altezza?”
PROF: “ Sì.”
GIAN: “ 15.”
PROF: “ Allora sono 15 unità di tempo. E questo punto?”
GIAN: “ Sono 13.”
PROF: “ Allora è diminuito.”
GIAN: “ E se invece fosse spazio e tempo?” Pensa di invertire il ruolo delle variabili.
PROF: “ Questo non lo so, dovete mettervi d’accordo voi.”
GIAN: “ Si può fare anche al contrario perché rallenta gradatamente…”
Sceglie quindi come parametri velocità e tempo.
GIAN: “Questo comunque è sbagliato, qui sale, qui la curva è piatta…(intanto disegna)…qui arriva e inizia a rallentare, allora sale, poi mantiene la stessa velocità….”

ALE concorda. Scrivono sul grafico gli attimi corrispondenti al cambiamento dell’andatura della curva.
L’ azione in zona di sviluppo prossimale dell’ insegnante produce un cambiamento di strategia, infatti i ragazzi, ed in particolare GIAN, capiscono che il parametro tempo è una grandezza sempre crescente. Non riescono però ancora ad attribuire il giusto significato ai tratti di curva prodotti, per esempio al fatto che tracciare una linea parallela all’ asse x implica considerare il tempo costante. Risulta indispensabile un nuovo intervento del professore.
Quando il professore ritorna gli mostrano il loro operato, affermando di aver capito l’errore di prima.
PROF: “ Perché questo non è giusto?” E indica il grafico in cui il tempo decresceva.
GIAN: “ Perché il tempo qui diminuisce.”
Il professore si fa spiegare al dettaglio come hanno ragionato per produrre il grafico.
PROF: “ Perché quando parte fate così?”
ALE: “ Perché parte piano e poi aumenta, 50, 100, 200…..”
PROF: “ Accelera.”
ALE: “ Poi qui la velocità si stabilizza.”
PROF: “ Qui il temo misura 11 quadretti ed anche qui, allora è costante, vuol dire che non è passato tempo.” Intanto addita due punti del grafico corrispondenti ad uno dei tratti in cui la curva è parallela all’ asse x.
ALE: “ Ha ragione.”
Il suggerimento dell’ insegnante produce una nuova manifestazione della funzione programmatrice del linguaggio e una svolta nell’ evoluzione della risoluzione.
Decidono quindi di prendere in considerazione delle variabili diverse.
STE: “ Metti velocità e tempo al contrario.”
ALE: “ Ma facciamo spazio e tempo.”
GIAN: “ Per me ci vuole la velocità per forza.”
GIAN non è ancora riuscito a comprendere la situazione problematica.
STE: “ Velocità e spazio puoi metterle insieme?”
ALE: “ No.”
GIAN: “ Il tempo va qua, se no quando va dritto il tempo si ferma.” E indica l’asse delle x.
ALE: “ Usiamo spazio e tempo.”
STE: “ No perché anche lo spazio deve continuare ad andare su, perché aumenta, è la velocità quella che prima aumenta piano e poi deve essere costante.”
L’ intervento precedente del professore e l’ausilio del grafico, utilizzato come strumento semiotico, consentono di capire a STE che un semplice scambio fra le variabili, conduce ad un risultato accettabile. Il suo ragionamento è disturbato dall’ intromissione di ALE, che sembra l’ unico ad aver capito a fondo il quesito, infatti insiste nel voler considerare spazio e tempo. ALE dimostra però un’ indole più docile e si lascia deviare senza opporre troppa resistenza dalla prepotenza di STE, prepotenza consolidata dalla recente scoperta della validità del suo ragionamento.
ALE e GIAN disegnano un nuovo grafico, GIAN: “ Qui aumenta, (intanto descrive una “parabola”), qui si stabilizza ( traccia una retta parallela all’asse x), qui rallenta dolcemente.”

STE: “ Ma non rallenta la velocità è sempre costante.”
GIAN: “ No rallenta quando vede la pista sotto.”
ALE: “ HA ragione Stefano, perché quando gira tiene sempre la stessa velocità.”
GIAN non è d’accordo.
STE: “ Ma la circonferenza è grande e per rimanere in volo l’aereo deve avere sempre la stessa velocità.”
Nel riflettere sul moto del mezzo sopra l’aeroporto, tutti e 3 descrivono dei grandi cerchi in aria con le mani.
STE suggerisce ad ALE di provare a risolver il problema con la calcolatrice, dal momento che è molto abile nell’utilizzarla, ma la sua idea non viene presa in considerazione.
ALE: “ Qui non so come si fa.”
Per STE la calcolatrice è come un oggetto magico al quale si può porre qualsiasi domanda ed ottenere un risultato preciso, senza troppa fatica, ammesso di saperla utilizzare.
GIAN invece fa il quadro della situazione: lui e STE la pensano diversamente, il compagno ritiene corretto il grafico

mentre lui reputa necessario introdurre un tratto, corrispondente ai 10 giri sulla pista, in cui, dopo aver diminuito la sua velocità, il mezzo mantiene un’ andatura costante.
STE intanto armeggia con la calcolatrice, ma non sembra molto abile nell’utilizzarla. Rinuncia: “ Non sono capace a fare i grafici.” Non è comunque convinto del risultato ottenuto dai suoi compagni: “ Stiamo sbagliando perché l’aereo non è come una macchina che se non rallenta non entra nell’autogrill, lui per restare in volo ha sempre bisogno della stessa velocità se no atterra.”
ALE: “Ma allora quando parte va già a 400 km/h !”
Per STE il rallentare è strettamente legato alla presenza di un ostacolo o di una traiettoria costrittiva. Il paragone può essere considerato costruttivo perché induce, se pur minimo, un dialogo, ma non porta ad alcuna evoluzione del significato di qualche concetto matematico.
A questo punto il gruppo si divide: ALE scrive il resoconto del lavoro, GIAN passa al 3° esercizio producendo la seguente tabella

n	x
1	4
2	8

e STE aspetta perché, per come è posto, la risoluzione del quesito successivo sembra richiedere l’utilizzo della calcolatrice, strumento col quale ribadisce di non avere un buon rapporto. Poiché ALE vuole capire quale sia il grafico esatto, fra i 2 prodotti, per riportarlo nel resoconto, viene richiesto il parere del professore.
PROF: “ Ma il grafico da fare non era della distanza?”
GIAN: “ E’ la stessa cosa.”
PROF: “ Discutetene perché cambia un parametro molto significativo.”
Quest’ intervento che all’ inizio sembra solo mirato a correggere un errore di valutazione della situazione, mette in luce una confusione concettuale molto importante e si trasforma in una necessaria azione in zona di sviluppo prossimale.
PROF: “Intanto vediamo quello che avete fatto. Avete usato la velocità: parte da zero, aumenta in maniera tra l’ altro non lineare, quindi state immaginando che ci sia un’ accelerazione variabile che dopo diventa costante. ”
Il gruppo espone quindi il dubbio relativo ai 2 risultati ottenuti e chiede quale sia il migliore.
PROF: “ Avete utilizzato 2 ipotesi diverse, solo questo. Ricordate però che viene chiesta la distanza !”
ALE: “ Vediamo se davvero il grafico è uguale.”
STE: “ Per me no.”
Provano quindi a reinterpretare la curva disegnata, dopo aver scelto fra le 2 l’ ipotesi quella di STE, sostituendo alla velocità lo spazio.
ALE: “ Non è uguale, se no sembra che si ferma, invece lo spazio aumenta sempre insieme al tempo.”
STE: “ In maniera costante.”
Rifanno il grafico: “ Qui accelera, qui si stabilizza, ma continua a salire perché continua ad andare avanti, qui vede la pista e rallenta…..” Intanto producono il seguente

Il consiglio dell’ insegnante ha immediatamente i suoi frutti, producendo l’ attivazione in ALE della funzione di controllo, da cui poi prenderà l’ avvio, grazie all’ individuazione dell’ errore, quella programmatrice.
GIAN però vorrebbe rappresentare l’ ultima fase diversamente, cioè nel modo seguente, “ Se rallenta la velocità diminuisce.”

(figura 3)

Ma i suoi compagni rifiutano questa possibilità, ALE: “ Noi stiamo guardando lo spazio !”, e producono la curva

L’ interazione sociale è indispensabile per lo sblocco di GIAN, che è troppo legato al suo punto di vista.
STE propone quindi, un’ altra possibilità: “ Quando arriva all’ aeroporto la distanza si ferma.”
Manifestazione della funzione programmatrice del linguaggio.
ALE: “ No.”
GIAN: “ No perché è come se girassi intorno al banco.” E ne percorre col dito il perimetro.
STE per far capire il suo ragionamento indica l’estremo in alto a sinistra del banco quello in fondo a destra identificandoli rispettivamente con l’ aeroporto di partenza e quello di arrivo, “ perché sono molto distanti”, disegna inoltre un cerchio ad indicare i giri che vengono compiuti su Los Angeles,

ma allora proprio per la grande distanza che separa i due scali, mentre l’aereo gira sulla città di arrivo, la sua distanza da Washington si può considerare costante.
Utilizzo del linguaggio iconografico e del segno prodotto come strumento di validazione. Ciò produce in ALE l’ attivazione della funzione programmatrice.
ALE: “ Allora è tutta una linea dritta.”
GIAN non è d’accordo, è convinto delle sue idee e dell’ inesattezza del grafico di figura 3.
Chiamano il professore e descrivono il nuovo ragionamento.
PROF: “ Allora per voi la distanza aumenta sempre e mentre gira (simula la traiettoria con una mano e con un dito dell’ altra rappresenta l’ aeroporto di partenza) rimane costante.”
GIAN ha come una folgorazione: “ No, mentre gira ci sono dei punti che è più vicino a New York ed altri in cui lo è meno.”
PROF: “ Allora il grafico come diventa?”
GIAN descrive col dito una spezzata.

L’ intervento del professore in zona di sviluppo prossimale avviene mediante l’ utilizzo della gestualità, che come dimostra l’immediata reazione di GIAN è ancora un mezzo di comunicazione molto importante.
Il professore propone di riflettere su questa scoperta, ma il suggerimento non è colto, concludono semplicemente che il grafico rappresentativo della distanza dall’aeroporto di partenza è…..

Intanto, Michele si intromette e inizia a discutere con GIAN della risoluzione del 1° esercizio. Michele sostiene che tale quesito è: “ Come quello degli alberi”, esercizio affrontato nella lezione precedente. Il professore conferma l’idea di Michele .
STE: “ Ogni volta devi fare il 4% , sommarlo a quello che hai già e fare il 4% della somma.”
Funzione contrattuale e di ricordo.
GIAN riflette un istante e si rende conto di aver sbagliato, si accinge quindi a riprendere il problema.
I componenti del gruppo convengono di dividersi le mansioni: GIAN si appresta a compiere i numerosi calcoli che comporta la risoluzione del 1° esercizio, STE termina la relazione sul 2° e ALE cerca di capire come affrontare il 3° utilizzando la calcolatrice. Ottiene così il grafico della funzione indicata

e cerca di mostrarla ai compagni che inizialmente non stanno ad ascoltarlo, anzi GIAN dice che ha già risolto il problema perché ha associato a n un numero e ha fatto la tabella e la indica al compagno.
La calcolatrice è utilizzata da ALE come strumento di esplorazione e di comunicazione.
ALE continua a fruttare la calcolatrice per produrre dei grafici, introducendo dei valori diversi per n.Su suggerimento di Michele , prova ad introdurre anche dei valori negativi: “ Funziona anche così.”
STE: “ Melo spieghi un po’ ALE:”
ALE: “ Ho notato una cosa: più il numero è grande, più,” mostra la calcolatrice e percorre col dito la parabola,……”
ALE continua a riflettere sulla sua scoperta, aiutandosi con la calcolatrice: “ Provo n uguale a 0.00….: ho capito ! Più n è piccolo, più il segmento che viene…” indica la curva, “si avvicina alla…”e indica l’ asse x, ma non riesce ad esprimersi.
Gli input grafici forniti dalla calcolatrice costituiscono uno strumento semiotico e conducono alla formulazione di una congettura. Questo è inoltre un esempio in cui, diversamente da quanto si è manifestato in tutta l’ esperienza, il grafico non accompagna il ragionamento prodotto oralmente, ma è ambito di pensiero.
Poi si mette a disegnare la situazione e ricorda,…” Si avvicina all’ asse x.”
STE: “ Fammi copiare.”
Provano a rifare il grafico insieme sulla calcolatrice, ALE: “ Metti 5x^2, poi 0.5x^2, prof ho scoperto una cosa sensazionale!”
Azione contrattuale e di chiarimento, in cui ALE, non facendo riferimento alcuno alle funzioni predefinite della macchina, ma solo al linguaggio algebrico, utilizza ampiamente la funzione generativa.