LEZIONE DEL 19/11/01

CONSEGNA: vedere scheda

GRUPPO: CRISTINA, FRANCESCO, MICHELE.

ORIENTATO AL COMPITO: MICHELE.

ORIENTATO AL GRUPPO: FRANCESCO.

MEMORIA DEL GRUPPO: CRISTINA.

(Note per il lettore: in rosso i commenti dell’osservatore; in nero i fatti che sono avvenuti durante la sessione di lavoro; su sfondo giallo le parti ritenute più significative da me, ossia dall’insegnante che conduce la ricerca).

Attività introduttiva della scheda

FRANC legge ad alta voce per tutti il testo proposto e dopo essere arrivato alla prima domanda si ferma e riassume brevemente quello che viene richiesto.
L’attività di risoluzione si apre con una manifestazione della funzione di chiarimento, propria del linguaggio verbale, che, in questo caso, risulta necessaria nel processo di comprensione del problema, cioè nel passaggio dal testo alla situazione problematica.
MIC suggerisce di dividere la regione in rettangoli “all’interno” e poi di usare la trasformazione di scala indicata, anche se il contorno che così si ottiene “non è preciso.”
Qui viene rilevata la presenza della funzione programmatrice.
Considerano quindi la presenza della scala 1:1000000.
FRANC: “A quanti m corrisponde?”
Il problema non viene risolto, ci si chiede invece se il mare è da considerare, MIC dice di no.
MIC comincia a disegnare.
FRANC: “ Non possiamo considerare un contorno unico?”
MIC: “ Ma come fai a calcolare l’area, poi?”
MIC recupera situazioni di riferimento in cui l’ area totale di un oggetto viene ottenuta suddividendolo in figure di cui si sa calcolare l’area agevolmente; al tempo stesso, recupera schemi associati a tali situazioni. Non si può dire lo stesso per FRANC. Abbiamo, inoltre, un’ altra manifestazione della funzione programmatrice del linguaggio: FRANC espone una strategia risolutiva alternativa a quella proposta da MIC inizialmente.

FRANC e MIC cercano di far intervenire CRIS che sembra disinteressata ed annoiata, ma senza risultato.
Torna il problema dell’equivalenza, non riescono a capire quanti km^2 sono 1000000 cm^2.Riflettono qualche minuto, ma non arrivano ad ottenere una soluzione convincente, quindi rinunciano. Ultimata la suddivisione si rendono conto che dei pezzi della superficie della Liguria non rientrano nella sagoma disegnata e che parti di territorio confinante vengono, invece, inclusi. Concordano che quanto osservato non è un problema perché il calcolo in questione sarà necessariamente approssimato e le zone in esubero compenseranno quelle mancanti.
La situazione presente potrebbe diventare, (complice il disegno, utilizzato come strumento semiotico) un riferimento per il concetto di approssimazione.
CRIS viene nuovamente interpellata: “Stai capendo?”
Qui c’è una chiara azione, dello studente incaricato, orientata al gruppo. FRANC sente in dovere di coinvolgere CRIS. Si tratta di un intervento forse un po’ rozzo, ma è un segnale del fatto che FRANC sente il compito assegnatogli e, in ogni caso, è un segnale che non sempre è presente nei gruppi di lavoro e, a maggior ragione, nelle lezioni più tradizionali.
Calcolano quindi le aree delle diverse figure individuate e le sommano, ottenendo l’area totale: “E’ 39.5 cm^2” “Allora lo moltiplichiamo per 1000000, ma quanti m è?”
MIC: “395 km^2, può essere?”
Continua ad esserci il problema di svolgere l’equivalenza.
FRANC: “Sono cm^2 però !”
Regna una grande confusione fra unità di misura, un po’ si parla di m, un po’ di cm^2, probabilmente alla radice manca il collegamento ad una situazione di riferimento in relazione con la rappresentazione linguistica cm^2.

Vengono sfruttate, contemporaneamente, le funzioni di chiarimento e di controllo proprie del linguaggio verbal quest’ ultima risvegliata, forse, dalla disponibilità della cartina, oggetto che consente la possibilità di confronti spaziali.

FRANC non è convinto del risultato: “ Con quelli al quadrato si va di 2 in 2.”

FRANC sembra possedere uno schema operativo preciso relativamente alle misure di superficie, ma non riesce a collegarlo ad una situazione di riferimento particolare, che dia solidità alle sue conoscenze.
CRIS: “Giusto !”
MIC: “E’ vero di 2 in 2.” Ma non sembra troppo convinto, per risolvere il dubbio viene chiamato il professore a cui è esposta la divergenza.
PROF: “ Avete controllato che il risultato sia accettabile?”
MIC spiega come hanno proceduto ripetendo il discorso delle compensazioni.
Nel dialogo (registrato) si osserva l’uso della funzione contrattuale del linguaggio.
FRANC: “Quello che abbiamo trovato è l’area della Liguria.”
PROF: “Della Liguria o di questa parte di carta?”
MIC: “ Nel senso di questi rettangoli qua, che sarebbero la Liguria.”
Applicazione della funzione di chiarimento, il cui input è dovuto all’intervento del professore.
Si percepisce il problema della confusione fra oggetto e rappresentazione che è possibile con un approccio di questo tipo alle tematiche. Quella del professore può essere vista come un’ azione in zona di sviluppo prossimale per condurre al concetto di rappresentazione.
PROF: “ Allora sulla rappresentazione !”
MIC: “ Sì, per avere quella reale dovremmo avere una carta più precisa.”
MIC attinge, dopo il suggerimento, a delle situazioni in cui ha utilizzato carte più grandi, che consentono approssimazioni più precise.
PROF: “ Non capisco proprio, il n° che avete trovato è l’area su questa carta o della Liguria reale?”
MIC: “Della Liguria su questa carta, quella della Liguria è più grande.”
PROF: “ Come avete fatto a fare la conversione?”
MIC: “ Usando che 1 cm^2 corrisponde a 1000000 cm^2.”
PROF: “ Avete controllato?”
MIC: “ Avevamo un dubbio: per cm^2 si passa di 2 in 2?”
Tale domanda mostra la presenza di un programma risolutivo soggiacente, nel quale non si è però in grado di procedere ulteriormente in modo autonomo.
PROF: “ Cosa vuol dire?”
Azione in zona di sviluppo prossimale: cercando di esprimersi in modo più chiaro possono arrivare da soli alla soluzione.
MIC: “Se si trattano 2 zeri come se fossero uno solo, perché i cm^2 sono 2 dimensioni e quindi ne prendo uno.”
MIC segue il consiglio e si mette sulla strada giusta, ma cosa gli impedisce di capire? Forse l’essere troppo convinto del suo ragionamento precedente.
PROF: “ Cerchiamo di capire 1 dm^2 quanti cm^2 è?”
MIC:” 10.”
PROF: “ Quanti? E un dm quanti cm sono?”
MIC: “ 10.”
Il professore richiama anche l’attenzione di CRIS. Poi chiede a MIC di chiarire la sua affermazione.
MIC: “ Perché se fai 10 quadretti (e disegna un segmento di 10 quadretti ) sono 10 quadretti.”
MIC non riesce ad andare avanti perché il suo ragionamento, di cui il disegno è espressione, lo blocca. Si può, inoltre, osservare l’utilizzo del linguaggio iconografico, che non essendo appropriato alla situazione inganna. MIC rimane ingabbiato nel frame delle lunghezze e non riesce ad uscirne.
CRIS non è d’accordo nel ritenere 1 dm^2=10 cm^2.
MIC: “ No, perché se si passasse di 2 in 2 la superficie sarebbe di molto minore.”
Continuano a ragionare sulla cifra 39500000 per capire qual è l’equivalenza giusta: FRANC scrive

e intanto elenca dm, m, …Poi considera

e ripete nuovamente le varie unità di misura ma attribuendo loro una posizione diversa: prima saltava avanti di due posti, ora solo di uno.
Qui il linguaggio ha funzione di chiarimento.
MIC: “ La misura che stiamo considerando è come da Loano a Verona.”
MIC e FRANC richiamano l’attenzione di CRIS, che afferma: “ Ma se per i cm^2 mi comporto come per i cm, è come dire che sono la stessa cosa !”
Qui potrebbero giocare un ruolo essenziale la rappresentazione linguistica e grafica, che consentono una diversificazione. Quello presentato è un tentativo di convincere, sfruttando questi elementi, i compagni della validità della propria tesi, cosa che potrebbe portarli allo sblocco. Infatti:
FRANC: “Allora devi andare di 2 in 2.”
Il professore interviene spontaneamente nelle discussione: “Come è finita poi quella cosa dei cm^2?”
MIC: “Io ricordo una cosa, lei un’altra,ma secondo me è sbagliata.”

PROF: “ Non possiamo, invece che ricordare, ricostruire?”
Questo è un altro chiaro spunto a riflettere, a pensare che alla soluzione si può arrivare; la parola chiave è ricostruire.
MIC la coglie e ripropone il ragionamento della riga di 10 quadretti fatto prima continuando a sostenerne la validità.
PROF: “Ma quanto sono alti? Se voglio 10 cm^2 devo fare un quadrato alto 10 cm.”
Il professore cerca di recuperare il concetto di altezza, fondamentale per il campo concettuale relativo all’area.
MIC: “Un momento, ho capito sono 100 cm^2”
PROF: “Allora aveva ragione CRIS.”
L’intervento è mirato a favorire una maggiore considerazione di CRIS all’interno del gruppo, in modo che possano essere apprezzate le sue qualità.
Anche FRANC è convinto di questo, ma MIC non è ancora persuaso a poterle dare ragione del tutto, e i suoi compagni forse perché lui è un po’ l’elemento portante del gruppo si lasciano forviare: “Se si va di 2 in 2, l’area viene troppo poco.”
CRIS: “ E se trasformiamo tutto in cm^3?”
MIC: “ Ma non vogliamo mica calcolare l’altezza delle montagne?”
Questa risposta, con chiaro riferimento alla vita reale e senza l’utilizzo di termini tecnici come volume, può dipendere o dalla poca padronanza della situazione, e quindi del linguaggio, o dal desiderio di farsi capire chiaramente da CRIS. Manifesta comunque un pensiero ancora molto legato alla vita pratica ed al linguaggio naturale e potrebbe supportare l’idea che il passaggio alla matematica deve essere graduale ed agevolato, all’inizio, dalla presentazione di quesiti esposti in linguaggio naturale.
CRIS: “ Allora trasformiamo tutto in cm !”
FRANC: “ Da cm^2 a cm sono…devi aggiungere due zeri.”
CRIS: “Aggiungi 2 zeri.”
MIC non è convinto: “ Proviamo a fare come ha fatto il prof, se tu fai 39.5*39.5 viene un area di…. Ma questi sono già cm^2.”
Azione della funzione programmatrice, l’ input è dato dall’ intervento del professore in zona di sviluppo prossimale.
MIC: “ La superficie dell’ Italia quanto è?”
Utilizzo della funzione di controllo.
C’è chiaramente un passo avanti nell’ area della zona di sviluppo prossimale: non confronta più aree con lunghezze, ma aree fra loro. Ha recuperato la giusta rappresentazione e situazione di riferimento
MIC: “Per me è 39.5.”
FRANC: “ Ma quanti sono in cm normali?”
Non si può dire lo stesso per FRANC.
MIC: “ Lo lasciamo in cm^2.”
FRANC: “ Ci arrendiamo !”
Poi prova a rapportare l’area trovata alla distanza fra Finale e Valle Crosia.
MIC propone quindi di passare all’attività 2.

ATTIVITA’ 1
FRANC legge il contenuto della prima parte della seconda attività, fino alla prima domanda.
In questo caso il cambiamento di scala è espresso a parole e in dimensioni lineari e il disegno fornito non rispecchia precisamente quanto indicato: un cm sulla carta non corrisponde al cm del righello.Ciò procura inizialmente dei problemi. Viene chiamato il professore che spiega come stanno le cose. MIC sembra molto dispiaciuto di non poter usare il righello come fatto nell’esperienza precedente.
Pensano quindi di contare approssimativamente quanti alberi ci sono in ogni quadratino.

FRANC ora detta a CRIS cosa deve scrivere, lei si adatta a questa situazione senza obbiezioni, non si preoccupa di provare a riformulare da sola il percorso fatto.
Avrà capito? Non possiamo dirlo, è invece evidente che FRANC capita una cosa cerca sempre di ripeterla ad alta voce come se questo lo aiutasse a incamerare le nozioni apprese. Il fatto, poi, che dopo aver letto il testo del problema lo riformuli con parole proprie, sembra indicare la necessità di ricondursi ad un linguaggio più comune come ambiente di lavoro e di questo come motore di avvio per la produzione vera e propria (funzione di chiarimento del linguaggio).
Passano alla domanda seguente. MIC legge il testo e intanto ragiona ad alta voce sulla soluzione, tutto questo viene fatto molto velocemente e provoca le lamentele di FRANC che non riesce a capire ma non vuole restare indietro.MIC quindi continua e ogni tanto si ferma aspettando di sentire, a conferma che FRANC sta seguendo, la voce del compagno ripetere il ragionamento.
In questo passaggio, MIC sfrutta al funzione programmatrice e FRANC attiva , grazie all’ influenza del compagno, sia questa che quella di chiarimento.
FRANC osserva che se ogni anno vengono tagliati il 20% degli alberi di un bosco di 1000 esemplari e la ripopolazione si limita a 50 alberi, essa è irrisoria: “ Sono niente a confronto.”
Intanto MIC scrive in silenzio.
Osservando MIC sembra che prediliga il lavoro solitario e silenzioso.
FRANC: “ Cosa stai scrivendo?”
MIC dice che sta facendo i calcoli. ( Ogni volta prendono nota del valore del 20% e del n° di alberi che si trovano nel bosco nell’anno corrispondente.)
In questo caso la calcolatrice non riveste un ruolo essenziale per la comunicazione, infatti, MIC esegue i calcoli e prende nota dei risultati in silenzio, senza rendere partecipi gli altri di quanto ottenuto..
FRANC pensa di calcolare il 20% del 2° anno e di moltiplicarlo per 20, perché così “il risultato non cambia ma si fa prima.”
MIC: “ No, perché il 20% cambia ogni volta ! E quindi devi fare il calcolo 20 volte e ogni volta con cifre diverse.”
CRIS: “ Devo scrivere tutto, allora dai dettate.”
E’ confermata la sensazione di prima.
MIC: “ Per me c’è una cosa costante.”
FRANC: “ Per me c’è una regola, se no rifarlo 20 volte !”
Emerge il ricordo di qualche situazione simile, in cui il problema era ricondotto ad una formula e facilmente risolto con una sua applicazione.
Chiamano il professore.
MIC: “ Non c’è qualcosa di costante, magari che basta trovare il rapporto?”
PROF: “ Ragionaci.”
Continuano a fare i conti, ma si annoiano, sono convinti dell’esistenza di un metodo più veloce.
MIC: “ Gli alberi stanno scendendo.”
FRANC: “ Secondo me al 20°anno non ce ne sono più.”
MIC: “ Pian piano il 20% diminuisce ogni volta.”
FRANC: “ Diventa 0.”
MIC: “ No, perché devi sempre aggiungere 50.”
FRANC: “ Allora il risultato è 50.”

La funzione di chiarimento è attivata dall’osservazione dei risultati forniti dalla calcolatrice, che diventa strumento di esplorazione, scoperta e di socializzazione, uno strumento a cui porre domande, per ottenere dei suggerimenti sulla strategia da seguire. Sembra quasi che divenga un nuovo elemento del gruppo, con il quale però non è così semplice comunicare, perché ha un linguaggio proprio, diverso da quello naturale e a volte anche da quello algebrico. A ciò sarà legato nel seguito il problema della rappresentazione del 20%.

La frase del compagno consente a FRANC di intravedere un nuovo metodo risolutivo.

MIC: “ Non so come si rappresenta il 20% !”
Chiamano il professore e glielo chiedono.
PROF: “ In questo caso il grafico non è semplice.”
MIC: “ Bisognerebbe dargli la partenza, quanto si aggiunge ogni volta…”
PROF: “ Non sappiamo disegnare il grafico, ma la relazione si può esprimere in linguaggio matematico, prima fatelo verbalmente, e così abbiamo già un bel lavoro.”
Operazione in zona di sviluppo prossimale: si cerca di condurre gli studenti alla generalizzazione e allo sviluppo del linguaggio algebrico, cose con le quali hanno ancora difficoltà a rapportarsi.

L’ evoluzione del pensiero, a partire dal suggerimento del professore, si manifesta con la messa in formula, che consente di produrre un segno sintetico e generalizzato.
FRANC : “ Come si fa a fare la percentuale ?”
Chiamano il professore.
MIC spiega la formula e conclude: “ Così trovo n’ e da questo trovo n”.”
PROF: “ Allora, qui non posso esprimere come facciamo di solito la y in funzione della x, perché ogni valore dipende dal precedente.”
FRANC interroga CRIS per vedere se ha capito.