22 settembre

Conoscenza della classe: spiegazione della particolare disposizione dei banchi (3 isole da 5 posti) ed esempio di lavoro di gruppo. Rassicurazione che tutto quanto fatto nelle medie sarà tenuto presente, ma non si richiedono prerequisiti necessari per seguire il corso. Richiesta di impegno massimo in classe e assicurazione che tale impegno sarà sufficiente per conseguire, alla fine del biennio una preparazione matematica di base (per il futuro cittadino). Invito a lavorare anche a casa, con assistenza dell’insegnante per posta elettronica per chi voglia conseguire una preparazione che non precluda o non renda difficoltosa la frequenze a corsi universitari con insegnamenti di matematica consistenti.

Primo esempio di lavoro di gruppo (gruppi da 5 studenti).

È stato assegnato soprattutto per capire quali sono le difficoltà del lavoro in gruppo e per verificare se 5 studenti per gruppo sono troppi. L’attenzione è quindi soprattutto rivolta agli aspetti di interazione sociale.
Lavoro assegnato: che cosa si può dire della somma di due numeri dispari consecutivi?

Gruppo 1 (Simone, Paola, Alessandro, Beatrice, Alessio)
Fanno prove: 7 + 9 ; 9 + 11; 5 + 7. Tendono a suddividersi in due gruppi di 3 e 2. Si rendono conto che si ottiene un numero pari e divisibile per 4 e si chiedono se si possono usare anche i numeri negativi. Dicono che con i negativi non funziona, perché 0 non è divisibile per 4 (nella discussione collettiva si convincono che così non è, ossia concordano con Michele che 0 è divisibile per 4. Si tratta di un’occasione per riprendere qualche nozione relativa alla divisibilità).

Gruppo 2 (Irene, Lucrezia, Erik, Stefano, Cristina)
Si chiedono che cosa vuol dire “consecutivi”. Poi fanno varie prove. Scoprono che la somma è divisibile per 4 e che è pari. Si chiedono se accade lo stesso per i numeri pari.

Gruppo 3 (Michele, Carlotta, Francesco, Gian Luca, Mattia)
Fanno le prove e dicono che è divisibile per 4 (E QUINDI ANCHE) per 2.
Nella discussione collettiva chiedo come farebbero a spiegare perché la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4. Tutti rispondono: perché provando vengono sempre due numeri divisibili per 4. Chiedo “quante prove dovremmo fare?” Le risposte sono diverse, ma tutte riassumibili nelle seguenti:
“Basta qualche prova” “Si fa qualche prova per numeri piccoli e poi con numeri più grandi, a caso”
Riflettiamo sulle risposte e poi do qualche idea su come si può giustificare ricorrendo alle potenzialità espressive del calcolo letterale. Si riflette su questa attività tipica della matematica per spiegare perché qualcosa accade, che è la dimostrazione. Il modello utilizzato in questo caso è 2n +1 + 2n + 3 = 2n + 4 = 4(n +1).

Il secondo problema proposto (gruppi da 3) è quello della suddivisione della posta in gioco (due giocatori A e B di pari abilità giocano al meglio dei 6 punti. Il punteggio viene interrotto sul 5 a 3 per A. Come devono suddividersi equamente la posta?)
Tutti i gruppi dopo cinque minuti hanno terminato suddividendo la posta in parti proporzionali al punteggio 5 a 3. Propongo a Michele di giocare. Io punto su testa che esce (ha tirato Mattia). Chiedo a Michele che parte di posta mi spetterebbe se la partita terminasse sull’1 a 0, in base alla suddivisione prima effettuata. Michele (e gli altri) convengono che mi spetterebbe tutta la posta, ma molti sono concordi nel dire che la suddivisione non è soddisfacente, perché Michele ha ancora possibilità di vincere.
Vi sono tre interventi interessanti in mezzo a una serie di ricette del tipo : dividi 24 per 11 poi moltiplica per 8 …, insomma indicazioni di calcoli che i ragazzi non riescono a spiegare, anche se dicono che è così, perché matematicamente funziona. Per esempio Stefano dice: 2 + 1 fa 3? 34 : 3 fa 8? 24 – 8 fa 16? Allora 8 a B e 16 ad A: matematicamente è corretto.
Un intervento interessante è quello di Erik, che invita a tenere conto delle possibili partite che potrebbero essere giocate e non di quelle che sono già state giocate; Michele dice che è bene tenere conto di entrambe; Paola dice che se fossero pari potrebbero suddividersi la posta in parti uguali. Erik sostiene poi che la situazione 1 a 0 o 5 a 4 o 4 a 3 sono identiche, perché uno dei due è in vantaggio di 1. Francesco dice che forse non va bene per le probabilità, ma per la matematica ha ragione Stefano. Alcuni ragazzi iniziano a partecipare meno alla discussione, anche per le molte ricette incomprensibili che vengono fornite dai loro compagni più estroversi. Allora invito a pensare che Pacioli risolse il problema come loro; che alcune idee che hanno avuto (essenzialmente Paola, Erik e Michele) le ebbero anche i matematici che impiegarono 200 anni a risolvere il problema. Che Paola, Eric e Michele invitano, in qualche modo a cambiare prospettiva: non pensare più a quello che è già successo, ma a quello che deve ancora accadere. Si tratta allora di avere dei buoni strumenti di rappresentazione di ciò che potrebbe ancora accadere. Lascio il problema per casa, dopo aver suggerito l’idea del diagramma ad albero

da completare.
Chiedo anche di scrivermi un foglio nel quale raccontano (anonimamente) brevemente (mezza paginetta) la loro esperienza matematica passata.