22 settembre
Conoscenza della classe: spiegazione della particolare disposizione dei
banchi (3 isole da 5 posti) ed esempio di lavoro di gruppo. Rassicurazione
che tutto quanto fatto nelle medie sarà tenuto presente, ma non
si richiedono prerequisiti necessari per seguire il corso. Richiesta di
impegno massimo in classe e assicurazione che tale impegno sarà
sufficiente per conseguire, alla fine del biennio una preparazione matematica
di base (per il futuro cittadino). Invito a lavorare anche a casa, con
assistenza dellinsegnante per posta elettronica
per chi voglia conseguire una preparazione che non precluda o non renda
difficoltosa la frequenze a corsi universitari con insegnamenti di matematica
consistenti.
Primo esempio di lavoro di gruppo (gruppi da 5 studenti).
È stato assegnato soprattutto per capire quali sono le difficoltà
del lavoro in gruppo e per verificare se 5 studenti per gruppo sono troppi.
Lattenzione è quindi soprattutto rivolta agli aspetti di
interazione sociale.
Lavoro assegnato: che cosa si può dire della somma di due numeri
dispari consecutivi?
Gruppo 1 (Simone, Paola, Alessandro, Beatrice, Alessio)
Fanno prove: 7 + 9 ; 9 + 11; 5 + 7. Tendono a suddividersi in due gruppi
di 3 e 2. Si rendono conto che si ottiene un numero pari e divisibile
per 4 e si chiedono se si possono usare anche i numeri negativi. Dicono
che con i negativi non funziona, perché 0 non è divisibile
per 4 (nella discussione collettiva si convincono che così non
è, ossia concordano con Michele che 0 è divisibile per 4.
Si tratta di unoccasione per riprendere qualche nozione relativa
alla divisibilità).
Gruppo 2 (Irene, Lucrezia, Erik, Stefano, Cristina)
Si chiedono che cosa vuol dire consecutivi. Poi fanno varie
prove. Scoprono che la somma è divisibile per 4 e che è
pari. Si chiedono se accade lo stesso per i numeri pari.
Gruppo 3 (Michele, Carlotta, Francesco, Gian Luca, Mattia)
Fanno le prove e dicono che è divisibile per 4 (E QUINDI ANCHE)
per 2.
Nella discussione collettiva chiedo come farebbero a spiegare perché
la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4.
Tutti rispondono: perché provando vengono sempre due numeri divisibili
per 4. Chiedo quante prove dovremmo fare? Le risposte sono
diverse, ma tutte riassumibili nelle seguenti:
Basta qualche prova Si fa qualche prova per numeri piccoli
e poi con numeri più grandi, a caso
Riflettiamo sulle risposte e poi do qualche idea su come si può
giustificare ricorrendo alle potenzialità espressive del calcolo
letterale. Si riflette su questa attività tipica della matematica
per spiegare perché qualcosa accade, che è la dimostrazione.
Il modello utilizzato in questo caso è 2n +1 + 2n + 3 = 2n + 4
= 4(n +1).
Il secondo problema proposto (gruppi da 3) è quello della
suddivisione della posta in gioco (due giocatori A e B di pari abilità
giocano al meglio dei 6 punti. Il punteggio viene interrotto sul 5 a 3
per A. Come devono suddividersi equamente la posta?)
Tutti i gruppi dopo cinque minuti hanno terminato suddividendo la posta
in parti proporzionali al punteggio 5 a 3. Propongo a Michele di giocare.
Io punto su testa che esce (ha tirato Mattia). Chiedo a Michele che parte
di posta mi spetterebbe se la partita terminasse sull1 a 0, in base
alla suddivisione prima effettuata. Michele (e gli altri) convengono che
mi spetterebbe tutta la posta, ma molti sono concordi nel dire che la
suddivisione non è soddisfacente, perché Michele ha ancora
possibilità di vincere.
Vi sono tre interventi interessanti in mezzo a una serie di ricette del
tipo : dividi 24 per 11 poi moltiplica per 8
, insomma indicazioni
di calcoli che i ragazzi non riescono a spiegare, anche se dicono che
è così, perché matematicamente funziona. Per esempio
Stefano dice: 2 + 1 fa 3? 34 : 3 fa 8? 24 8 fa 16? Allora 8 a B
e 16 ad A: matematicamente è corretto.
Un intervento interessante è quello di Erik, che invita a tenere
conto delle possibili partite che potrebbero essere giocate e non di quelle
che sono già state giocate; Michele dice che è bene tenere
conto di entrambe; Paola dice che se fossero pari potrebbero suddividersi
la posta in parti uguali. Erik sostiene poi che la situazione 1 a 0 o
5 a 4 o 4 a 3 sono identiche, perché uno dei due è in vantaggio
di 1. Francesco dice che forse non va bene per le probabilità,
ma per la matematica ha ragione Stefano. Alcuni ragazzi iniziano a partecipare
meno alla discussione, anche per le molte ricette incomprensibili che
vengono fornite dai loro compagni più estroversi. Allora invito
a pensare che Pacioli risolse il problema come loro; che alcune idee che
hanno avuto (essenzialmente Paola, Erik e Michele) le ebbero anche i matematici
che impiegarono 200 anni a risolvere il problema. Che Paola, Eric e Michele
invitano, in qualche modo a cambiare prospettiva: non pensare più
a quello che è già successo, ma a quello che deve ancora
accadere. Si tratta allora di avere dei buoni strumenti di rappresentazione
di ciò che potrebbe ancora accadere. Lascio il problema per casa,
dopo aver suggerito lidea del diagramma ad albero
da completare.
Chiedo anche di scrivermi un foglio nel quale raccontano (anonimamente)
brevemente (mezza paginetta) la loro esperienza matematica passata.
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