L’Unità di Lavoro che presentiamo in questo progetto nasce dall'esperienza del Gruppo di ricerca didattica dell'Università di Genova, a cui gli autori appartengono da più di vent'anni.

Il contesto in cui è stata costruita è quello del Progetto di insegnamento integrato della matematica e delle scienze sperimentali nella scuola media, elaborato dal gruppo stesso.

Le situazioni didattiche proposte sono state sperimentate in classi di terza media (circa un centinaio di alunni) all'interno di un percorso di "modellizzazione geometrica" della rappresentazione piana della realtà. Tale percorso si snoda dalla prima alla terza media, con obiettivi diversi ma intrecciati; le attività che precedono quelle descritte ora sono reperibili nel Progetto SeT e sono svolte nel seguente ordine cronologico: Linguaggi unità di lavoro Q, Modelli unità di lavoro I e Modelli unità di lavoro L.
Questa unità di lavoro presuppone lo svolgimento delle attività descritte in Modelli unità di lavoro L.

Anche se non ancora sperimentato, riteniamo che possa essere validamente svolta nel primo anno della Scuola Secondaria Superiore.
Infatti, la proposta culturale associata all'intero lavoro è quella di offrire la possibilità di capire e di partecipare alla costruzione di un percorso di astrazione/formalizzazione analogo a quello che compie un "matematico" (e più in generale uno studioso) quando dall'osservazione di particolari fatti reali, formula ipotesi su comportamenti generali, che vuole poi giustificare all'interno di una teoria di riferimento.

In quest’ottica, il lavoro non è vincolato ad una particolare fascia di età.
Noi lo abbiamo proposto anche ad insegnanti in corsi di aggiornamento e in attività di laboratorio della Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario dell’Università di Genova.

La storia del nostro percorso di "modellizzazione geometrica" della rappresentazione piana della realtà, inizia nell’a.s. 91/92 quando abbiamo iniziato ad osservare i ragazzi durante attività di lettura/produzione di rappresentazioni grafiche collegate alla risoluzione di problemi non standard. Fino ad allora non avevamo affrontato sistematicamente il problema delle interazioni tra lettura e produzione di immagini e ci limitavamo a proporre differenti attività di decodifica (assonometrie; rappresentazioni in scala e in prospettiva) ritenendo comunque indispensabile che i ragazzi comprendessero e utilizzassero informazioni grafiche per il proseguimento degli studi, per la professione, ... .

L’analisi dei protocolli ci ha evidenziato grosse potenzialità insite nel campo di esperienza della "rappresentazione piana della realtà".

Da qui la stesura delle quattro Unità di Lavoro, nelle quali il disegno viene analizzato da tre principali punti di vista, strettamente intrecciati tra loro:

1) Il disegno e le dinamiche mentali.
E' necessario che gli alunni capiscano che ciò che si vede è comunque una rappresentazione mentale della realtà e che per disegnare con lo scopo di comunicare significati oggettivi (forma, funzione, posizione, ...) occorre saper isolare tale rappresentazione dalle numerose immagini mentali che il soggetto può liberamente creare della realtà stessa.
Infatti, prima di disegnare, l'alunno compie un'esplorazione dinamica della situazione, attivando numerose dinamiche spazio-temporali e, per disegnare "bene", occorre che sappia compiere un opportuno "fermo-immagine".
Questo processo è aiutato anche da un continuo scambio tra i ruoli produttore/lettore che porta ad una integrazione e un arricchimento progressivo delle immagini mentali o grafiche e/o dei disegni prodotti. Esse diventano via via più complete e meglio organizzate, fino ad essere collocate in uno spazio e in un tempo determinato, assicurando la coerenza di ciò che viene rappresentato sul foglio.
Un disegno può variare solo per elementi "estetici"; ma deve tener conto di tratti caratteristici, proprietà, nessi logici fondamentali, coerenza spaziale e temporale su cui si basano le possibilità di decodificare l'immagine.

2) Il disegno come problema.
Le attività svolte hanno avviato in modo motivato riflessioni e discussioni su alcuni aspetti nodali della rappresentazione intesa come situazione di problem solving.
È bene che la classe giunga a capire che anche un disegno è un problema e per risolverlo in modo "corretto", occorre anche saper:

• individuare/scegliere le caratteristiche essenziali dell'oggetto/situazione da rappresentare in funzione del significato da comunicare e della finalità della rappresentazione (dati del problema)
• individuare/scegliere il punto di vista più opportuno e fare attenzione ad ambiguità di rappresentazione al fine di comunicare significati corretti (processo risolutivo)
• individuare/scegliere le informazioni da comunicare, consapevoli dell'impossibilità di dare tutte le informazioni possibili con una sola rappresentazione (pluralità delle soluzioni)
• lettura critica/controllo della produzione, evidenziando eventuali errori (interpretazione/controllo/scelta delle soluzioni)

Al fine della realizzazione di un disegno "valido" occorre quindi saper operare delle selezioni e altresì saper coordinare opportunamente i vari elementi selezionati e rendersi conto che non tutte le relazioni individuate sono sempre pertinenti al problema da risolvere o possono essere tradotte in simboli grafici.

3) Il disegno come progetto.
La rappresentazione piana di situazioni spaziali richiede una complessa attività di progettazione, nella quale la qualità del pensiero che si forma dipende anche dalla capacità di comporre gradualmente ricordi, tracce percettive, conoscenze su proprietà dell'oggetto o della situazione da rappresentare in un discorso coerente (attraverso movimenti immaginati attorno all'oggetto da rappresentare o nello spazio in cui l'osservatore si trova/immagina se stesso) e in un progetto di disegno eseguibile.
In tale attività schizzi, disegni parziali,... sono tracce esterne dell'elaborazione mentale del progetto e possono assumere un importante ruolo di riferimento per lo sviluppo del progetto sia come elementi su cui l'allievo può sviluppare la sua riflessione, sia come elementi che consentono all'insegnante di realizzare un intervento sul progetto dell'alunno.
La maggior parte degli alunni, infatti, inizia il progetto con un disegno particolarmente semplice e lo corregge sulla base delle riflessioni che tale primo prodotto gli ha stimolato (dinamica produttore/lettore); la rappresentazione della situazione esaminata non è quindi stabilita in anticipo e una volta per tutte, ma viene corretta, modificata, migliorata in itinere.
Solo pochissimi riescono a realizzare un primo disegno molto vicino a quello finale;in questo caso gli adeguamenti sono avvenuti interiormente.

Nel corso della nostra esperienza è inoltre emerso che le attività qui presentate consentono anche di avviare in modo naturale e motivato gli allievi ad:

• attività che consentono di acquisire consapevolezza delle operazioni mentali che devono essere compiute per la produzione/interpretazione corretta di rappresentazioni (dinamiche mentali)
• attività di modellizzazione geometrica e di costruzione di primi elementi di una teoria geometrica
• attività di validazione di congetture attraverso un ragionamento di tipo ipotetico deduttivo.

Per raggiungere tutti questi obiettivi con il maggior numero possibile di alunni, occorre però che l'insegnante curi la costruzione sociale del sapere: curi molto le attività di formulazione di ipotesi, di verbalizzazione, di socializzazione e discussione dei protocolli. In questo modo tutti i ragazzi, attraverso il confronto e l'immedesimazione nelle soluzioni e nei processi di pensiero altrui, possono arricchire i propri e accrescere la capacità di metterli in relazione.

Le quattro Unità di Lavoro realizzate possono essere analizzate anche alla luce delle seguenti chiavi di progettazione:

1) esplorazione dinamica/dinamiche mentali
si abituano gli alunni a:

• cogliere le differenze tra "ciò che vedo/ ciò che penso/ciò che rappresento" (in particolare vedi Progetto SeT Linguaggi Q e Modelli I);
• acquisire consapevolezza dell'esistenza di processi mentali (dinamiche mentali) che intervengono nelle fasi di esplorazione dinamica di una situazione proposta, di produzione/interpretazione corretta di rappresentazioni (in particolare vedi Progetto SeT Linguaggi Q e Modelli I);
• imparare a gestire tali dinamiche al fine di sviluppare la capacità di formulare/interpretare/validare ipotesi (Progetto SeT Linguaggi Q, Modelli I, Modelli L e questa unità didattica)

2) formulazione di ipotesi/attenzione al linguaggio
Le quattro Unità di Lavoro richiedono formulazioni di ipotesi argomentate e riflessioni sul linguaggio che, da personale, diventa condiviso (linguaggio di classe) e via via più rigoroso (elementi del linguaggio geometrico)

3) modellizzazione/approccio al sapere teorico
Si propongono situazioni indecidibili empiricamente (che si prestano all'esplorazione dinamica) per giungere a fondare la validazione di ipotesi emerse in classe non sull'esperimento (e sulla misura) o sul disegno, ma sul "ragionamento" di tipo ipotetico deduttivo. Le proprietà ammesse come vere dalla classe, vengono gradualmente espresse in termini di enunciati geometrici e diventano "assiomi" della teoria geometrica che realizza la modellizzazione delle situazioni considerate (elementi di geometria della proiezione centrale nel Progetto SeT Modelli L, elementi di geometria della proiezione parallela in questa unità). Le "ipotesi" formulate dai ragazzi (vedi Parole chiave) entrano a far parte di un discorso matematico diventando così "congetture", il "ragionamento" diventa "dimostrazione matematica". L'imitazione di modelli di "enunciati" (Modelli unità I, Modelli unità L e questa unità) e di canovacci di "dimostrazioni" (Modelli unità L e questa unità) facilita il raggiungimento di una sufficiente conformità con i "teoremi" della matematica.