E. ...per l'insegnante

Il nostro percorso di modellizzazione geometrica della realtà ("geometria della rappresentazione piana dello spazio"- SeT Linguaggi unità Q, Modelli unità I e unità L - e "geometria delle ombre del sole" di questa unità) termina con un esempio che introduce alcune riflessioni sul "confronto tra teorie".

Abbiamo posto la seguente domanda (scheda 9):
abbiamo dimostrato che un rettangolo in prospettiva non si trasforma mai in un parallelogrammo non rettangolo; poi abbiamo dimostrato che l'ombra di un rettangolo è sempre un parallelogrammo (eccetto il caso limite). Questi risultati possono sembrare in contraddizione, ma sono entrambi veri. Come spieghi ciò?

Si richiede una risposta individuale con l'obiettivo di far riflettere sul fatto che:

  • un'affermazione matematica (enunciato di un teorema) è vera quando si può ottenere a partire dagli assiomi di una teoria di riferimento, attraverso concatenazioni logiche corrette
  • un'affermazione può essere vera o falsa a seconda della teoria di riferimento scelta (quindi degli assiomi scelti)

La socializzazione delle risposte e le successive riflessioni sono una fase importante, di ampia valenza culturale, cui è bene dedicare tutto il tempo necessario.

Nelle nostre classi tutti colgono chiaramente che se si cambiamo i punti di partenza considerati veri (gli assiomi), si ottengono risultati diversi.
Sono interessanti, per esempio, le seguenti metafore:

  • è come con il Lego: se uso blocchetti diversi, arrivo a costruzioni diverse.
  • è come con le carte se cambiano le regole, cambia il gioco

E' bene, comunque, che la discussione finale di sintesi e di sistemazione si concluda con una riflessione condivisa del tipo: gli enunciati possono sembrare in contraddizione, ma sono entrambi veri perché si riferiscono a teorie diverse, con assiomi diversi.

Proposta di possibile espansione.
E' possibile ampliare le riflessioni relative alle teorie di riferimento guidando gli alunni alla comprensione del fatto che le "due teorie" individuate nei percorsi di "geometria della rappresentazione piana" e di "geometria delle ombre del sole" si possono "sintetizzare" in un'unica "teoria più generale".

In molti testi si trova scritto che "se si sposta all'infinito il punto di fuga, le linee che vi convergono diventano tra loro parallele" e, secondo questo modo di procedere, la "geometria della rappresentazione piana" tende alla "geometria delle ombre del sole". Questo tipo di approccio è un significativo esempio di passaggio al limite e può essere presentato alla classe, ad esempio, con il supporto di un modellino di prospettografo ottenuto con fili colorati.
Si può inizialmente simulare la situazione della rappresentazione piana fissando il quadro, il punto di vista sulla retta perpendicolare al centro del quadro, il punto di fuga (cioè il punto cui convergono tutte le linee non parallele al quadro) e osservando un rettangolo e le sue trasformazioni; in seguito, si può simulare la situazione delle ombre del sole rendendo i fili paralleli tra loro (dopo aver osservato che allontanando sempre più il punto di fuga i fili tendono a diventare paralleli tra loro).
A questo punto del percorso, al livello di astrazione raggiunto dalla classe, il supporto fisico del modellino diventa uno strumento "teorico" di indagine che permette di esplorare la situazione; permette di puntualizzare la corrispondenza biunivoca tra un punto di un piano e la sua proiezione e di formulare ipotesi sugli assiomi di una nuova teoria più generale (che deve "contenere" almeno le due precedenti): elementi di geometria proiettiva.

Alcune riflessioni conclusive
Abbiamo visto che la nostra proposta di approccio a "teorie" e "teoremi" ha mostrato molte potenzialità e molti spunti di approfondimento culturalmente stimolanti.

E' un'occasione per tutti gli alunni della scuola dell'obbligo di partecipare ad un discorso matematico; di avere la possibilità di capire e di partecipare alla costruzione di un percorso di astrazione/formalizzazione analogo a quello che compie un "matematico" (e più in generale uno studioso) quando dall'osservazione di particolari fatti reali, formula ipotesi su comportamenti generali, che vuole poi validare all'interno di una teoria di riferimento.

Le "ipotesi" formulate dai ragazzi (vedi Parole chiave) entrano a far parte di un discorso matematico diventando così "congetture", il "ragionamento" diventa "dimostrazione matematica". L'imitazione di modelli di "enunciati" (già affrontata in Modelli unità I e Modelli unità L) e di canovacci di "dimostrazioni" (già affrontata in Modelli unità L) facilita il raggiungimento di una sufficiente conformità con i "teoremi" della matematica.

In questo contesto:

  • tutti gli alunni hanno seguito attivamente l'itinerario proposto, si sono mostrati curiosi e interessati ai risultati via via raggiunti; si sono impegnati molto nella fase di dimostrazione;
  • la fascia medio/alta della classe riesce ad evidenziare ed affinare capacità logiche, proprietà di linguaggio matematico, mostra di saper raggiungere buoni livelli di ragionamento deduttivo,... che difficilmente sarebbero emersi in un percorso "tradizionale";
  • la fascia bassa, stimolata dall'interesse per il riferimento a situazioni problematiche "concrete" e di facile riscontro, è rimasta sempre ancorata alle problematiche affrontate; ha dimostrato interesse, partecipazione e impegno nelle discussioni collettive; ha sempre cercato di ragionare autonomamente e di partecipare alle attività. Anche se abbiamo riscontrato momenti di arresto del processo di astrazione/generalizzazione nel corso delle attività sulla dimostrazione e pochi sono riusciti a "dimostrare", molti sono riusciti ad argomentare, alcuni facendo anche riferimento corretto agli enunciati. I risultati sono abbastanza soddisfacenti per il livello di consapevolezza raggiunto; per l'appropriazione del linguaggio geometrico; per l'aderenza alla semantica degli enunciati discussi. Anche per questi ragazzi, quindi, l'attività è positiva.

Secondo noi la riuscita incoraggiante di questo "long term teaching experiment" (inteso come l'insieme delle attività "spazio" e "ombre") dipende da determinanti scelte teoriche e didattiche.