C. ...dai ragazzi

Analisi delle risposte alla scheda 5 (T1):

Come abbiamo già detto, la formulazione del teorema T1 "l'ombra di un parallelogrammo che non sta su un piano parallelo alla direzione dei raggi e' un parallelogrammo" è equivalente al "teorema di Riccardo", qualora non si consideri il caso limite.
Ricordando quanto discusso nella situazione didattica B2, gli alunni focalizzano l'attenzione nel giustificare che l'ombra di un quadrilatero è un quadrilatero, utilizzando l'enunciato 7 prima di giustificare che le ombre di rette parallele sono rette parallele (E5).

L'analisi dei protocolli fa emergere che tutti fanno un grosso sforzo di argomentazione e di ricerca di relazioni logiche. Le risposte riflettono livelli diversi di attenzione al linguaggio.

  • Pochi non riescono a dimostrare. Tra questi c'è:
    • chi commette errori di tipo logico, per esempio Stefano (fascia bassa):
      per dimostrarlo devo usare l'E5 e l'E7 perché il 5 dice che due rette parallele hanno ombre parallele e vuol dire che in ombra non cambiano e così succede per il parallelogrammo e l'E7 perché l'affermazione è uguale tranne che al posto del quadrilatero c'è scritto parallelogrammo
      Secondo Stefano sostituendo in un enunciato la stessa parola (in questo caso "quadrilatero" con "parallelogrammo") sia nella premessa che nella conseguenza, si ottiene un'affermazione ancora vera
    • chi argomenta in modo incompleto, per esempio Martina (fascia alta):
      secondo l'E7 l'ombra di un quadrilatero che non sta su un piano parallelo ai raggi è un quadrilatero.
      Il ragionamento si limita al quadrilatero; non giunge al caso del parallelogrammo in quanto non esplicita che "due rette parallele hanno ombre parallele"
  • Quasi tutti riescono a utilizzare correttamente gli enunciati, giungendo a "dimostrazioni" con diversi livelli di proprietà di linguaggio (vedi esempi 1)

Analisi delle risposte alla scheda 6 (T2):
Quasi tutti tentano un "ragionamento per assurdo", le risposte evidenziano diversi livelli di analisi delle situazioni e differenze notevoli nell'utilizzo degli enunciati. Molte "dimostrazioni" sono supportate da disegni che illustrano il pensiero dell’alunno.

  • Alcuni non riescono a dimostrare. Tra questi c'è:
    • chi è completamente disorientato e non risponde oppure cita (a volte a caso) alcuni enunciati.
    • chi commette un grave errore logico (che ricorre spesso anche in ragazzi di scuole superiori e a livello adulto): utilizza male gli enunciati confondendo ipotesi con tesi. Nella nostra teoria di riferimento, tutti gli enunciati danno informazioni su trasformazioni realtà/ombra, questi alunni li utilizzano scambiando la direzione dell'implicazione (come se le informazioni fossero su trasformazioni ombra/realtà) (vedi esempio 1)
    • chi si limita a descrivere la situazione pensata, ma non fa concatenazioni logiche utilizzando gli assiomi (vedi esempio 2).
  • Molti argomentano tentando di condurre un ragionamento di tipo logico-deduttivo, ma non riescono a portarlo a termine in modo completo e corretto (vedi esempi 3).
  • Alcuni dimostrano utilizzando correttamente gli enunciati, quindi muovendosi consapevolmente all'interno della teoria di riferimento, ma esprimendosi con diversi livelli di chiarezza e proprietà di linguaggio (vedi esempi 4).

Complessivamente, ci sentiamo di sostenere che:

  • gli alunni che sono in grado di "dimostrare" ragionando esclusivamente sul piano del sapere teorico sono prevalentemente di fascia medio/alta;
  • più della metà "dimostra" correttamente producendo ragionamenti che inizialmente si appoggiano alla siazione concreta in esame e successivamente utilizzano gli assiomi.
  • tutti, anche le fasce più basse, seguono con interesse le attività proposte e raggiungono diversi livelli di consapevolezza delle problematiche teoriche affrontate.