C. ...per l'insegnante

L'attività si propone di vedere se, a distanza di tempo e in un nuovo contesto, gli alunni sono grado di produrre ragionamenti prossimi a una dimostrazione di tipo "standard". La classe, infatti, ha già affrontato attività di dimostrazione nel lavoro di "rappresentazione dello spazio visibile" ha affrontato (e riflettuto su) il "ragionamento per assurdo" e ha provato a produrre "canovacci di dimostrazione" (cioè ragionamenti convincenti che rispettino determinate regole logiche e che facciano riferimento al sapere di riferimento "ufficiale" condiviso dalla classe) (vedi SeT, Modelli L, situazione didattica D).

L'insegnante propone i seguenti teoremi e ne chiede una "dimostrazione" quale strumento di validazione teorica.

  • (T1): l'ombra di un parallelogrammo che non sta su un piano parallelo alla direzione dei raggi è un parallelogrammo (scheda 5)

    Questa formulazione è equivalente al "teorema di Riccardo" (scheda 4), qualora non si consideri il caso limite.

  • (T2): se l'ombra di un quadrilatero è un parallelogrammo, allora il quadrilatero di partenza è un parallelogrammo (scheda 6).
    La dimostrazione richiede un ragionamento per assurdo; è bene però che l'insegnante socializzi questo fatto solo quando viene focalizzato da alcuni ragazzi

Gli alunni hanno a disposizione il quaderno su cui hanno riportato il sistema di assiomi della geometria delle ombre del sole.

L'attività si svolge in due tempi (lavorando prima su T1, poi su T2) e ha due nodi essenziali:

  • richiesta dell'insegnante di provare a giustificare una congettura, utilizzando il "sistema di assiomi" concordato: lavoro di produzione individuale, seguito dalla socializzazione dei risultati.
  • sistemazione teorica, da parte dell'insegnante.
    L'approccio al sapere teorico e alla dimostrazione in matematica è uno degli obiettivi di questa unità di lavoro ed è necessario che l'insegnante, per provare a perseguirlo, introduca anche linguaggi e metodologie specifiche.
    A tal fine, nel corso della socializzazione, discussione e correzione delle "dimostrazioni" prodotte, deve guidare gli alunni a esplicitare l'ipotesi e la tesi dell’enunciato; riprendere le formulazioni che fanno riferimento esplicito agli "assiomi" e utilizzarle al fine di proporre un copione comune di dimostrazione. Queste attività, quindi, agevolano anche un affinamento del linguaggio della classe.
    Per entrambi i teoremi, i copioni sono introdotti come sintesi comune di tentativi individuali di dimostrazione, alcuni anche positivi; sono quindi un momento di sistemazione di un discorso matematico, all’interno di una teoria matematica (vedi esempi di canovacci di dimostrazione di T1 e T2).

    • Tale attività deve anche essere occasione per le seguenti importanti riflessioni sul piano del sapere teorico:

    • affrontare nodi concettuali relativi al ragionamento per assurdo.
      Nella nostra esperienza, anche con adulti, abbiamo potuto constatare che quando si raggiunge la consapevolezza che gli assiomi concordati danno "informazioni" solo dallo spazio al piano, migliora la comprensione del "ragionamento per assurdo", della sua necessità logica, delle situazioni in cui è necessario ricorrervi.
      Lavorare con trasformazioni geometriche che operano dallo spazio (tridimensionale) al piano (bidimensionale) consente di tenere meglio sotto controllo il dominio di validità di un'affermazione (assioma o teorema).
      Da questo punto di vista, i campi di esperienza "della geometria delle ombre del sole" e quello "della geometria della rappresentazione piana della realtà", si sono rivelati particolarmente adatti e stimolanti.
    • sottolineare che ogni affermazione "dimostrata" può essere utilizzata per validare altre affermazioni, arricchendo quindi l'insieme degli enunciati "veri"

Le riflessioni finali dovranno essere anche occasione per correggere quanti nella scheda 1 avevano detto che l'ombra di un rettangolo poteva essere un trapezio o un triangolo.

Possibile espansione:
In classi di scuola media particolarmente motivate e nelle classi di scuola superiore è possibile compiere un'ulteriore riflessione teorica di grande valenza culturale: da T1 e T2 segue che l'ombra di un quadrilatero è un parallelogrammo, se e solo se il quadrilatero è un parallelogrammo che non sta su un piano parallelo alla direzione dei raggi. Questo è un esempio impegnativo di condizione necessaria e sufficiente (se e solo se, doppia implicazione) di cui spesso gli alunni, ma anche gli adulti, non colgono a fondo l'importanza.

I nostri alunni hanno già affrontato una situazione analoga nel lavoro di rappresentazione dello spazio a cui facciamo riferimento per le problematiche relative (set, modelli - unità L - situazione didattica D1).