B3. ...per l'insegnante


Abbiamo visto (nella situazione B2) che molte argomentazioni (implicitamente o no) contengono affermazioni del tipo:

  • una figura chiusa deve avere un'ombra chiusa
  • gli ostacoli che il sole trova nella realtà si ritrovano sempre nell'ombra (per esempio i vertici)
  • segmenti consecutivi danno ombre consecutive

da tutti ritenute vere perché evidenti, ma in realtà non utilizzabili nel corso della "dimostrazione" perché non appartenenti al (o deducibili dal) "sistema di assiomi" concordato e che l'insegnante ha quindi suggerito l'idea che per superare tali problemi, occorre arricchire l'insieme degli enunciati concordati.

L'insegnante deve far riflettere la classe sul fatto che l'obiettivo non è solo quello di dimostrare il teorema di Riccardo, ma rimane quello di costruire un "modello" della "geometria delle ombre del sole". Occorre cioè costruire quegli elementi di teoria sulla base dei quali poter descrivere come il sole disegna le proprie ombre e poter decidere se alcune congetture sono vere o false (dimostrazioni di teoremi).
L'attività è occasione di riflessioni significative e consente di far acquisire maggior consapevolezza sul lavoro.
Sono interessanti, per esempio, le seguenti metafore emerse nelle nostre classi:

  • è come costruire una casa (la teoria di riferimento), dobbiamo procurarci i mattoni (assiomi).
  • è come con il Lego: se non ho tutti i blocchetti necessari non posso arrivare ad una certa costruzione.
  • è come conoscere le regole del "ruba mazzetto" o della "scala quaranta": se non le so, non posso fare un gioco o l'altro

Traccia di possibile gestione
L'insegnante suggerisce: "Per aiutarci, è bene costruire i nuovi enunciati a partire dagli elementi geometrici più semplici della geometria".
Gli alunni si impegnano a immaginare situazioni realtà/ombra che coinvolgano punti, rette e piani.

Le riflessioni relative al punto portano a pensare all'ombra prodotta da una cintura, da una tapparella con dei fori allineati, da un sassolino appoggiato all'estremità superiore di un bastone, …
Da osservazioni del tipo "il sole passa attraverso i fori e se tappo i fori il sole non passa più", "l'ombra del sassolino è sull'ombra del bastone", … si è arriva facilmente a concordare i seguenti enunciati:

  • l'ombra di un punto è un punto.
  • se un punto appartiene ad una retta, l'ombra del punto appartiene all'ombra della retta.

Le riflessioni relative alle rette e alle relazioni retta/piano portano a ripensare al lavoro di osservazione delle ombre della cartolina.
I ragazzi iniziano a ragionare muovendo una cartolina e individuano alcune proprietà associate a coppie di rette; in seguito per focalizzare l'attenzione su proprietà associate a una sola retta ragionano muovendo (o dichiarando di pensare di muovere) penne o bastoncini.
I nuovi enunciati proposti sono del tipo:

  • tutte le rette che giacciono su un piano parallelo ai raggi hanno ombre sovrapposte
  • due rette incidenti che giacciono su un piano non parallelo ai raggi hanno ombre incidenti.

che si aggiungono a quelli già concordati (vedi situazione B1):

  • rette parallele proiettano ombre parallele distinte o coincidenti
  • l'ombra di una retta è ancora una retta (oppure un punto quando la retta ha la direzione dei raggi)

In ultimo, gli alunni propongono di aggiungere anche l'enunciato che avevano utilizzato implicitamente per dimostrare il "teorema di Riccardo" (l'ombra di un quadrilatero è un quadrilatero) nella nuova formulazione:

  • l'ombra di un quadrilatero che non sta su un piano parallelo ai raggi è un quadrilatero

e quello del caso particolare del rettangolo, analizzato nella scheda 2:

  • l’ombra di un rettangolo che sta su un piano perpendicolare ai raggi è un rettangolo

Questi fatti evidenziano che:

  • il supporto fisico (cartolina, penna, ..) è superato in quanto tale e diventa spontaneamente uno strumento di pensiero.
  • l'esplorazione dinamica è uno strumento fondamentale per formulare ipotesi

Il lavoro si conclude con la sistemazione teorica degli enunciati individuati.
L'insegnante guida la classe a ordinarli a partire da quelli relativi al punto, alla retta, alle relazioni punto/retta, alle relazioni tra due rette, con particolare attenzione al linguaggio geometrico utilizzato.

Nelle nostre classi, avendo lavorato molto sul linguaggio geometrico, abbiamo richiesto di giungere a formulazioni finali che prendessero in considerazione coppie di rette e che quindi contenessero la definizione di piano in funzione di due sue rette.
Capire che due rette posizionate in alcuni modi definiscono un piano, non è stato un concetto di facile acquisizione e in questo caso la mediazione dell'esperienza è stata un ottimo supporto. Gli alunni hanno preso due penne e una cartolina; hanno provato a vedere quando la cartolina riusciva a "prendere" ("contenere", "appoggiarsi a") entrambe le penne e hanno verificato che ciò accade se le rette sono incidenti o parallele (cioè non sono sghembe)
Anche in questo caso il riferimento a una situazione concreta ha fatto da ponte alla concettualizzazione.

Riportiamo di seguito il nostro sistema di assiomi della "geometria delle ombre del sole" (l'insieme ordinato degli enunciati concordati nelle nostre classi) che sarà il riferimento per il seguito del lavoro:

E0 - L'ombra di un punto è un punto.
E1 - L'ombra di una retta (che non ha la direzione dei raggi del sole) è una retta; l'ombra di una retta che ha la direzione dei raggi del sole è un punto.
E2 - Se un punto appartiene ad una retta, l'ombra del punto appartiene all'ombra della retta.
E3 - Due rette che individuano un piano parallelo ai raggi hanno ombre sovrapposte (escludendo il caso che siano entrambe nella direzione dei raggi del sole).
E4 - Due rette distinte che individuano un piano non parallelo ai raggi hanno ombre distinte.
E5 - Due rette parallele hanno ombre parallele (sovrapposte o distinte).
E6 - Due rette incidenti che individuano un piano non parallelo ai raggi hanno ombre incidenti.
E7 - L'ombra di un quadrilatero che non sta su un piano parallelo ai raggi è un quadrilatero.
E8 - L’ombra di un rettangolo che sta su un piano perpendicolare ai raggi è un rettangolo

Il "sistema di assiomi" così concordato è composto da enunciati non tutti indipendenti tra loro: per esempio, E6 ed E7 si possono dimostrare utilizzando E1 e E2 e sono in realtà teoremi.
Ricordiamo che scopo principale del nostro lavoro è rendere consapevoli i ragazzi che per dimostrare correttamente delle congetture (teoremi) occorre non dare nulla per scontato e utilizzare solo enunciati "veri" cioè concordati (assiomi) o già dimostrati. In quest'ottica, il problema della scelta di un "sistema minimo" di assiomi esula dai nostri scopi e non è stato oggetto di particolare riflessione in classe.