B3. ...per l'insegnante
Abbiamo visto (nella situazione B2) che molte argomentazioni
(implicitamente o no) contengono affermazioni del tipo:
-
una figura chiusa deve
avere un'ombra chiusa
-
gli ostacoli che il sole trova
nella realtà si ritrovano sempre nell'ombra (per esempio
i vertici)
-
segmenti consecutivi danno
ombre consecutive
da tutti ritenute vere perché evidenti,
ma in realtà non utilizzabili nel corso della "dimostrazione"
perché non appartenenti al (o deducibili dal) "sistema di
assiomi" concordato e che l'insegnante ha quindi suggerito l'idea
che per superare tali problemi, occorre arricchire l'insieme degli
enunciati concordati.
L'insegnante deve far riflettere la classe sul
fatto che l'obiettivo non è solo quello di dimostrare il teorema
di Riccardo, ma rimane quello di costruire un "modello"
della "geometria delle ombre del sole". Occorre cioè
costruire quegli elementi di teoria sulla base dei quali
poter descrivere come il sole disegna le proprie ombre e poter decidere
se alcune congetture sono vere o false (dimostrazioni di teoremi).
L'attività è occasione di riflessioni significative
e consente di far acquisire maggior consapevolezza sul lavoro.
Sono interessanti, per esempio, le seguenti metafore
emerse nelle nostre classi:
-
è come costruire
una casa (la teoria di riferimento), dobbiamo
procurarci i mattoni (assiomi).
-
è come con il Lego:
se non ho tutti i blocchetti necessari non posso arrivare ad una certa
costruzione.
-
è come conoscere le
regole del "ruba mazzetto" o della "scala quaranta":
se non le so, non posso fare un gioco o l'altro
Traccia di possibile gestione
L'insegnante suggerisce: "Per
aiutarci, è bene costruire i nuovi enunciati a partire dagli
elementi geometrici più semplici della geometria".
Gli alunni si impegnano a immaginare situazioni realtà/ombra
che coinvolgano punti, rette e piani.
Le riflessioni relative al punto
portano a pensare all'ombra prodotta da una cintura, da una tapparella
con dei fori allineati, da un sassolino appoggiato all'estremità
superiore di un bastone,
Da osservazioni del tipo "il
sole passa attraverso i fori e se tappo i fori il sole non passa più",
"l'ombra del sassolino è sull'ombra del bastone",
si è arriva facilmente a concordare i seguenti enunciati:
-
l'ombra di un punto è
un punto.
-
se un punto appartiene ad
una retta, l'ombra del punto appartiene all'ombra della retta.
Le riflessioni relative alle rette e alle
relazioni retta/piano portano a ripensare al lavoro di osservazione
delle ombre della cartolina.
I ragazzi iniziano a ragionare muovendo una cartolina e individuano
alcune proprietà associate a coppie di rette; in seguito
per focalizzare l'attenzione su proprietà associate a una
sola retta ragionano muovendo (o dichiarando di pensare di muovere)
penne o bastoncini.
I nuovi enunciati proposti sono del tipo:
- tutte le rette che giacciono su un piano parallelo
ai raggi hanno ombre sovrapposte
- due rette incidenti che giacciono su un piano
non parallelo ai raggi hanno ombre incidenti.
che si aggiungono a quelli già concordati
(vedi situazione B1):
In ultimo, gli alunni propongono di aggiungere
anche l'enunciato che avevano utilizzato implicitamente per dimostrare
il "teorema di Riccardo" (l'ombra di un quadrilatero è
un quadrilatero) nella nuova formulazione:
e quello del caso particolare del rettangolo,
analizzato nella scheda 2:
Questi fatti evidenziano che:
-
il supporto fisico (cartolina,
penna, ..) è superato in quanto tale e diventa spontaneamente
uno strumento di pensiero.
-
l'esplorazione dinamica è
uno strumento fondamentale per formulare ipotesi
Il lavoro si conclude con la sistemazione
teorica degli enunciati individuati.
L'insegnante guida la classe a ordinarli a partire da quelli relativi
al punto, alla retta, alle relazioni punto/retta, alle relazioni tra
due rette, con particolare attenzione al linguaggio geometrico utilizzato.
Nelle nostre classi, avendo lavorato molto sul
linguaggio geometrico, abbiamo richiesto di giungere a formulazioni
finali che prendessero in considerazione coppie di rette e che quindi
contenessero la definizione di piano in funzione di due sue rette.
Capire che due rette posizionate in alcuni
modi definiscono un piano, non è stato un concetto di facile
acquisizione e in questo caso la mediazione dell'esperienza è
stata un ottimo supporto. Gli alunni hanno preso due penne e una cartolina;
hanno provato a vedere quando la cartolina riusciva a "prendere"
("contenere", "appoggiarsi a") entrambe le penne
e hanno verificato che ciò accade se le rette sono incidenti
o parallele (cioè non sono sghembe)
Anche in questo caso il riferimento a una situazione concreta ha fatto
da ponte alla concettualizzazione.
Riportiamo di seguito il nostro sistema
di assiomi della "geometria delle ombre del sole"
(l'insieme ordinato degli enunciati concordati nelle nostre classi)
che sarà il riferimento per il seguito del lavoro:
E0 - L'ombra di un punto è un punto.
E1 - L'ombra di una retta (che non ha la direzione dei raggi del sole)
è una retta; l'ombra di una retta che ha la direzione dei raggi
del sole è un punto.
E2 - Se un punto appartiene ad una retta, l'ombra del punto appartiene
all'ombra della retta.
E3 - Due rette che individuano un piano parallelo ai raggi hanno ombre
sovrapposte (escludendo il caso che siano entrambe nella direzione dei
raggi del sole).
E4 - Due rette distinte che individuano un piano non parallelo ai raggi
hanno ombre distinte.
E5 - Due rette parallele hanno ombre parallele (sovrapposte o distinte).
E6 - Due rette incidenti che individuano un piano non parallelo ai raggi
hanno ombre incidenti.
E7 - L'ombra di un quadrilatero che non sta su un piano parallelo ai
raggi è un quadrilatero.
E8 - Lombra di un rettangolo che sta su un piano perpendicolare
ai raggi è un rettangolo
Il "sistema di assiomi" così
concordato è composto da enunciati non tutti indipendenti tra
loro: per esempio, E6 ed E7 si possono dimostrare utilizzando E1 e E2
e sono in realtà teoremi.
Ricordiamo che scopo principale del nostro
lavoro è rendere consapevoli i ragazzi che per dimostrare
correttamente delle congetture (teoremi) occorre non dare nulla per
scontato e utilizzare solo enunciati "veri" cioè concordati
(assiomi) o già dimostrati. In quest'ottica, il problema
della scelta di un "sistema minimo" di assiomi esula
dai nostri scopi e non è stato oggetto di particolare riflessione
in classe.
|