B2. ...per l'insegnante


… per riprendere a dimostrare …
In una delle nostre classi, nel corso della discussione per la ricerca degli enunciati, è accaduto un fatto non previsto che si è rivelato molto utile per la prosecuzione del lavoro. Un alunno, di nome Riccardo, ha affermato: "ho capito! L'ombra di un rettangolo è sempre un parallelogrammo, oppure un segmento!"
L'insegnante ha colto questa occasione per riprendere senza forzature il “problema del dimostrare”, stimolando la curiosità dei compagni. Riccardo ha infatti enunciato un ”teorema” che deve essere validato: non si sa se Riccardo ha ragione o torto e ormai i ragazzi sono tutti abbastanza convinti che non è sufficiente una verifica empirica (anche se con un elevato numero di prove) per decidere. In questo modo prende forza la necessità del dimostrare.

Visti i risultai ottenuti, riteniamo opportuno procedere sempre in modo analogo.
Nelle altre classi abbiamo proposto la stessa situazione problematica nel seguente modo: "in una classe, un alunno di nome Riccardo ha affermato: ho capito! L'ombra di un rettangolo è sempre un parallelogrammo, oppure un segmento! Ha ragione?" (scheda 4).

… per "completare il sistema di assiomi" …
In tutte le "dimostrazioni corrette" del "teorema di Riccardo" gli alunni hanno dato per scontato che siano vere perché evidenti affermazioni del tipo:

  • l'ombra di una figura chiusa è una figura chiusa,
  • l'ombra di un quadrilatero è un quadrilatero (avendo deciso di escludere il caso limite)

Ci attendiamo pertanto che facilmente ciò possa accadere in tutte le classi e che quindi l'insegnante possa proseguire il lavoro come segue e rilanciare la discussione sul piano del sapere teorico.
L'insegnante pone la seguente domanda: ”Come possiamo essere sicuri che un quadrilatero abbia come ombra un quadrilatero? Dire che rette parallele hanno ombre parallele, non esclude la possibilità che, per esempio, tutti i lati diventino nell’ombra paralleli tra loro.”
In altre parole, in base agli assiomi che abbiamo, possiamo escludere il verificarsi di una situazione del tipo di quella a fianco?

L'insegnante suggerisce quindi l’idea che occorra arricchire il "sistema di assiomi" (A1, A2) con nuove proposizioni.

Riflessioni di questo tipo, sul piano del sapere teorico, hanno un'ampia valenza culturale in quanto aiutano a capire il significato della dimostrazione inteso come "ragionamento interno a una teoria", "ragionamento deduttivo", …

L’insegnante infatti ricorda (e gli alunni devono giungere a capire) che in una teoria le affermazioni (anche se evidenti) si possono considerare "vere" solo se fanno parte degli assiomi concordati o se sono da questi deducibili.
Questa riflessione ha creato una complessità, a cui i ragazzi non avevano pensato, che ha stimolato il desiderio di discutere, di fare nuove ipotesi e li ha aiutati a capire il valore della precisione del linguaggio. Questa situazione è anche un esempio significativo in cui emerge come la complessità faccia evolvere il sapere, favorisca la concettualizzazione, faccia sviluppare il bisogno di coerenza.