• hanno preso coscienza e iniziato a gestire dinamiche mentali.
  Per una trattazione estesa e dettagliata delle problematiche associate a questo tema, rimandiamo alle unità didattiche citate; per una descrizione sintetica del significato di dinamiche mentali, vedi il bottone "parole chiave" di questa unità didattica e per le relazioni "dinamiche mentali/nostro lavoro", vedi il bottone "quali scelte" di questa unità didattica.
• hanno affrontato situazioni significative di problem-solving con esplorazioni dinamiche.
  Queste hanno contribuito a creare nella classe l'abitudine a prendere in esame tutti i possibili casi (esplorati o immaginati) della situazione problematica che si sta analizzando e a riconoscere ogni congettura come un particolare "fotogramma" dell'esplorazione dinamica stessa. Abbiamo potuto infatti constatare che gli alunni fin dall'inizio formulano una congettura utilizzando frasi del tipo "se ... allora" in quanto, evocando una situazione dinamica, ne colgono un aspetto e lo formalizzano come uno dei possibili casi.
• hanno acquisito, nel campo di esperienza della "rappresentazione piana dello spazio visibile" una certa capacità: di formulare ipotesi; di riflettere sulle congetture; di fare osservazioni anche critiche sulle situazioni reali e di rendersi conto che l'esperienza può presentare dei limiti per superare i quali occorre ragionare all'interno di una teoria. In tali attività i ragazzi hanno affrontato anche alcuni aspetti culturali e metodologici relativi alla costruzione in classe di una "teoria" di riferimento (elementi di geometria della proiezione centrale) e all'approccio alla dimostrazione.

Questa unità di lavoro propone un percorso didattico "dalle ombre del sole alla geometria delle ombre del sole" facendo partecipare la classe alla costruzione di elementi di geometria della proiezione parallela con l'obiettivo di riprendere, approfondire, confrontare e verificare, in un nuovo campo di esperienza e a distanza di tempo, le abilità acquisite dagli alunni in attività di approccio a "teoria" e "teoremi".

Nel campo di esperienza delle "ombre del sole":

• il contesto esterno è relativo a situazioni di problem-solving significative che richiedono la produzione di congetture e consentono esperimenti mentali basati su osservazioni dinamiche. In particolare il contesto esterno comprende specifiche espressioni linguistiche introdotte dall'insegnante per costruire un linguaggio utile a formulare in modo adeguato ipotesi e argomentazioni.
• il contesto interno degli alunni evolve in particolare per quanto riguarda la consapevolezza delle dinamiche mentali, l'organizzazione del pensiero, l'evoluzione del linguaggio.

… premesse allo svolgimento della situazione A1
Il lavoro può essere avviato con una breve presentazione per informare gli alunni che:

• svolgeranno attività basate su osservazioni di situazioni reali con lo scopo di approfondire aspetti geometrici che di volta in volta saranno precisati;
• l'attività è confrontabile con quella svolta in una prima classe di liceo, la valutazione terrà conto più dell'impegno e della partecipazione che del risultato corretto raggiunto;
• sarà richiesta la verbalizzazione dei processi di pensiero e delle difficoltà incontrate.

Anche in questa unità di lavoro, è importante che le risposte errate non siano corrette dall'insegnante o scartate: solo attraverso il confronto e/o l'analisi delle risposte, la classe con l'aiuto dell'insegnante (ma non l'insegnante) sarà in grado di scegliere quelle corrette e di argomentare gli errori individuati.
In tal modo tutti sono protagonisti della lezione, ogni risposta è valorizzata e anche l'errore è un momento di crescita collettiva (ruolo dell'errore). Infatti ogni alunno socializza, sostiene, eventualmente modifica, quindi arricchisce, i propri processi di pensiero e il proprio linguaggio mentre la classe, con la guida dell'insegnante, è abituata all'argomentazione e alla riflessione su processi di pensiero diversi dai propri, imparando a distinguere quelli corretti
In questo senso, le attività sono anche occasione per osservare come un problema possa talvolta avere più di un processo risolutivo corretto.

… descrizione dell'attività A1
Ciascun alunno deve avere a disposizione una cartolina rettangolare (o un cartoncino rigido di forma rettangolare); l'attività può essere svolta in classe o all'aperto.
Il percorso inizia con la richiesta di osservare le variazioni dell’ombra di una cartolina al variare della sua posizione nello spazio, al fine di individuare quali figure geometriche può assumere l’ombra e di formulare ipotesi su quali proprietà geometriche del rettangolo "si conservano/non si conservano" nel passaggio realtà/ombra (scheda 1).
Abbiamo scelto una cartolina per poter lavorare sulle proprietà del rettangolo e per poter evidenziare analogie/differenze con le trasformazioni del rettangolo osservate nel percorso di rappresentazione piana della realtà.
Questa attività di osservazione, “lettura” e interpretazione di immagini (ombre) richiede la continua gestione delle proprie dinamiche mentali ed è occasione di riflessione sui processi di pensiero propri e altrui.
Poiché nella scheda non si esplicita un particolare piano su cui "raccogliere" le ombre, l'insegnante si deve attendere che gli alunni osservino le ombre su piani diversi. Nelle nostre classi, la maggior parte ha raccolto le ombre su un piano orizzontale (pavimento o banco) o verticale (parete).
Per ragioni contingenti (giornate piovose, aule senza il sole diretto, …) può accadere che l'attività proposta nella scheda non si riesca a svolgere con l'osservazione diretta delle ombre. In questo caso le risposte relative alla scheda 1 saranno il frutto di un esperimento mentale, anziché di un'attività di osservazione. Ciò è accaduto anche in una nostra classe (di livello medio alto).
L'analisi delle risposte (situazione A2) ha evidenziato in questi casi una prevalenza di frasi in cui i ragazzi hanno:

• spostato mentalmente il sole invece della cartolina
• formulato ipotesi più prossime agli enunciati matematici (cioè espresse in forma condizionale, astratta e generale).

Non si notano altre particolari differenze nello svolgimento delle attività successive.