GALILEO: da discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due
nuove scienze, terza giornata
TEOREMA 1. PROPOSIZIONE 1
Il tempo in cui uno spazio dato è percorso
da un mobile con moto uniformemente accelerato a partire dalla quiete,
è eguale al tempo in cui quel medesimo spazio sarebbe percorso
dal medesimo mobile mosso di moto equabile, il cui grado di velocità
sia sudduplo [la metà] del grado di velocità ultimo e
massimo [raggiunto dal mobile] nel precedente moto uniformemente accelerato.
TEOREMA 2. PROPOSIZIONE 2
Se un mobile scende, a partire dalla quiete, con moto uniformemente
accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno tra
di loro in duplicata proporzione dei tempi [in un rapporto pari al rapporto
dei tempi moltiplicato per se stesso], cioè stanno tra di loro
come i quadrati dei tempi.
COROLLARIO 1
Di qui è manifesto che, se dal primo istante o inizio del moto
avremo preso successivamente un numero qualsiasi di tempi eguali, come
ad esempio AD, DE, EF, FG, nei quali siano percorsi gli spazi
HL, LM, MN, NI, questi spazi staranno tra di loro come i numeri
impari ab unitate, cioè come 1, 3, 5, 7: questa è infatti
la proporzione tra gli eccessi dei quadrati delle linee che si eccedono
egualmente e il cui eccesso è eguale alla minima di esse, o vogliam
dire tra i numeri quadrati consecutivi ab unitate. Pertanto, mentre
i gradi di velocità aumentano in tempi eguali secondo la serie
dei numeri semplici, gli spazi percorsi nei medesimi tempi acquistano
incrementi secondo la serie dei numeri impari ab unitate.
SAGR. Sospendete,
in grazia, alquanto la lettura, mentre io vo ghiribizando intorno a
certo concetto pur ora cascatomi in mente; per la spiegatura del quale,
per mia e per vostra più chiara intelligenza, fo un poco di disegno.
![](../immagini/antgalil3.gif)
Dove mi figuro per la linea AI la continuazione del tempo dopo
il primo instante in A; applicando poi in A, secondo qualsivoglia
angolo, la retta AF, e congiugnendo i termini I, F, diviso
il tempo AI in mezo in C, tiro la CB parallela
alla IF; considerando poi la CB come grado massimo della
velocità che, cominciando dalla quiete nel primo instante del
tempo A, si andò augumentando secondo il crescimento delle
parallele alla BC, prodotte nel triangolo ABC (che è
il medesimo che crescere secondo che cresce il tempo), ammetto senza
controversia, per i discorsi fatti sin qui, che lo spazio passato dal
mobile cadente con la velocità accresciuta nel detto modo sarebbe
eguale allo spazio che passerebbe il medesimo mobile quando si fusse
nel medesimo tempo AC mosso di moto uniforme, il cui grado di
velocità fusse eguale all'EC, metà del BC.
Passo ora più oltre, e figuratomi, il mobile sceso con moto accelerato
trovarsi nell'instante C avere il grado di velocità BC,
è manifesto, che se egli continuasse di muoversi con l'istesso
grado di velocità BC senza più accelerarsi, passerebbe
nel seguente tempo CI spazio doppio di quello che ei passò
nell'egual tempo AC col grado di velocità uniforme EC,
metà del grado BC; ma perché il mobile scende con
velocità accresciuta sempre uniformemente in tutti i tempi eguali,
aggiugnerà al grado CB nel seguente tempo CI quei
momenti medesimi di velocità crescente secondo le parallele del
triangolo BFG, eguale al triangolo ABC: sì che,
aggiunto al grado di velocità GI la metà del grado
FG, massimo degli acquistati nel moto accelerato e regolati dalle
parallele del triangolo BFG, aremo il grado di velocità
IN, col quale di moto uniforme si sarebbe mosso nel tempo CI;
il qual grado IN essendo triplo del grado EC, convince,
lo spazio passato nel secondo tempo CI dovere esser triplo del
passato nel primo tempo CA. E se noi intenderemo, esser aggiunta
all'AI un'altra ugual parte di tempo IO, ed accresciuto
il triangolo sino in APO, è manifesto, che quando si continuasse
il moto per tutto 'l tempo IO col grado di velocità IF,
acquistato nel moto accelerato nel tempo AI, essendo tal grado
IF quadruplo dell'EC, lo spazio passato nel tempo IO
sarebbe quadruplo del passato nell'egual primo tempo AC; ma continuando
l'accrescimento dell'uniforme accelerazione nel triangolo FPQ
simile a quello del triangolo ABC, che ridotto a moto equabile
aggiugne il grado eguale all'EC, aggiunto il QR eguale
all'EC, aremo tutta la velocità equabile esercitata nel
tempo IO quintupla dell'equabile del primo tempo AC, e
però lo spazio passato quintuplo del passato nel primo tempo
AC. Vedesi dunque anco in questo semplice calcolo, gli spazii
passati in tempi uguali dal mobile che, partendosi dalla quiete, va
acquistando velocità conforme all'accrescimento del tempo, esser
tra di loro come i numeri impari ab unitate 1, 3, 5, e, congiuntamente
presi gli spazii passati, il passato nel doppio tempo esser quadruplo
del passato nel sudduplo, il passato nel tempo triplo esser nonuplo,
ed in somma gli spazii passati essere in duplicata proporzione de i
tempi, cioè come i quadrati di essi tempi.
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