I bambini, anche dopo l'avvio alla formalizzazione, l'introduzione dei segni algebrici e la costruzione delle relative tecniche dell'addizione e della sottrazione in colonna, fra la classe prima e la classe terza continueranno in molti casi a verbalizzare ed a rappresentare graficamente o con schematizzazioni molto libere il proprio modo di ragionare e di contare, spesso senza utilizzare nè i segni algebrici introdotti nè le relative tecniche.
L'insegnante non deve considerare ciò negativamente, perchè indica che i bambini continuano a rapportarsi molto concretamente con la situazione problematica e che non perdono il significato di ciò che stanno facendo. Utilizzeranno le tecniche quando le domineranno al punto da introdurle da subito nell'interpretazione della situazione che porta alla risoluzione del problema. L'insegnante, dovrà, al contrario, vigilare che continuino anche allora ad accompagnare l'uso delle tecniche e dei formalismi con cenni minimi di verbalizzazione che indichino che mantengono il controllo semantico del proprio modo di operare.
Il segno x viene introdotto, dopo il +, già in classe prima, in quanto non costituisce un problema a livello di significato (ci si riferisce al significato del x come addizione ripetuta), ma i bambini inizieranno ad usare la moltiplicazione solo con la completa memorizzazione delle tabelline del x (in classe terza) ed in quel momento si inizierà a costruire la tecnica della moltiplicazione in colonna partendo dalle strategie dei bambini che arrivano spontaneamente alla scomposizione del numero da moltiplicare (la sistematizzazione avviene con scrittura a lato della scomposizione che viene mantenuta fino a quando i bambini non sono in grado di gestirla con sicurezza: in questa esperienza non abbiamo esempi di ciò in quanto l'anno precedente la tecnica era già stata insegnata da un altro insegnante).
Il segno : viene introdotto fra la classe terza e la classe quarta con avvio della divisione alla canadese o siciliana o Nuffield.