PIANO DI LAVORO ARTICOLATO PER APPRENDIMENTI DISCIPLINARI

MATEMATICA

 

Obiettivi prioritari:

- per quanto riguarda la padronanza dei significati delle operazioni, si tratta di:
* consolidare la padronanza del significato di contenenza della divisione e dei significati più impegnativi della sottrazione;
* portare a fondo il lavoro sui significato della divisione "di partizione";
* realizzare l'approccio al significato della moltiplicazione che interviene nel calcolo delle aree, significato che va oltre l'addizione ripetuta (a fine anno si può ritenere che in media circa l'85% dei bambini abbia raggiunto una sufficiente padronanza dei principali significati di tutte le operazioni aritmetiche);

- per quanto riguarda i problemi, un obiettivo cruciale della classe IV è costituito dalla risoluzione dei problemi a più operazioni, in ambiti molto diversi .
Attualmente si può stimare prossima al 70% la percentuale dei bambini che a fine classe IV hanno raggiunto una discreta autonomia nel risolvere problemi aritmetici standard a più operazioni (vedi verifiche N.3, es. 3 e N.8 ); naturalmente, ciò non vuol dire che i bambini sappiano risolvere da soli in modo completamente corretto tali problemi: ad esempio, nel "problema della Panda" moltissimi bambini non considerano il viaggio di ritorno; quello che è importante è che un po' più dei due terzi dei bambini riescano a concatenare in modo ragionevole operazioni appropriate riferite alla situazione problematica proposta;

- per i numeri decimali, occorre consolidare la padronanza della scrittura decimale-posizionale in ambiti diversi (misure di lunghezza, valori monetari del passato, misure di peso ...) (circa 85% di risultati positivi nelle verifiche di fine IV: vedi es. 1 e 2 della verifica N.3);

- per quanto riguarda le tecniche di calcolo scritto, occorre completare e consolidare la padronanza delle tecniche di calcolo scritto della moltiplicazione e della divisione tra numeri interi, ed estendere ai numeri decimali le tecniche di calcolo scritto dell'addizione e della sottrazione (circa 85% di verifiche positive a fine IV: prova di verifica 11).
Conformemente ai programmi, invece, non è obiettivo della classe IV l'estensione ai decimali delle tecniche di calcolo scritto della moltiplicazione e della divisione.

- per il calcolo mentale, occorre consolidare ed estendere il calcolo di addizioni come 67 +25 e come 175 + 28 mediante scomposizioni e composizioni di interi, e sviluppare calcoli di moltiplicazioni del tipo 15x 12 (come 15x10 + 15x2)
(oltre 85% di risultati positivi nei calcoli di addizioni, attorno al 65% per i calcoli di moltiplicazioni del tipo ora indicato);

- per la geometria, premesso che la parte contenutisticamente più rilevante del programma di geometria del nostro progetto si sviluppa in IV, sono obiettivi cruciali per la classe IV:
* il completamento del lavoro sulla rappresentazione consapevole sul foglio di situazioni tridimensionali, fino alla identificazione del fenomeno della visione prospettica (che "deforma" in molte situazioni il parallelismo e la perpendicolarità e richiede una attenta considerazione dei rapporti tra realtà e ciò che si vede e ciò che si disegna). Se l'identificazione del fenomeno della visione prospettica appare accessibile a tre quarti circa dei bambini, molto più difficile appare ottenere risultati soddisfacenti nella costruzione di rappresentazioni prospettiche, soprattutto quando si tratta di ambienti in cui i bambini sono immersi: vedi relazione di Anna Ferrara, pag.P80.
* la costruzione dei concetti di verticalità (come direzione del filo a piombo); perpendicolarità; orizzontalità; parallelismo; direzione (come proprietà comune a un fascio di rette parallele e come "punto all'infinito" verso il quale sembrano convergere le rette parallele); angolo (come ampiezza di rotazione e come porzione di piano .....); triangolo; rotazione; simmetria rispetto ad una retta.
Tali concetti si intendono posseduti non se i bambini ne "recitano" le definizioni, ma se li sanno riconoscere ed utilizzare in situazioni reali (il lavoro di "Sole e Terra", se adeguatamente svolto, consente di ottenere buoni risultati di apprendimento con l'85% circa dei bambini come si vede nelle verifiche finali N.1 e N.9);
* il consolidamento e l'approfondimento delle misure di lunghezza e delle riduzioni in scala, con applicazione alle carte geografiche (buoni risultati di apprendimento per l'80% circa dei bambini)
* l'approccio ai concetti di perimetro e di area (il lavoro sulle aree verrà ripreso a fondo nella classe V);

- per la logica e l'informatica, la padronanza del ragionamento ipotetico in situazioni argomentative matematiche (ad esempio, nella verbalizzazione della costruzione e della misura di un angolo) e nella gestione di ipotesi in ambito scientifico;

- per la statistica, l'uso via via più autonomo (lettura e costruzione) di tabelle e grafici (risultati positivi prossimi all'85% nell'esercizio 1 della verifica 12 ) ; per la probabilità, sarebbe opportuno affinare in IV l'idea di "probabilità a priori", di "equiprobabilità " e di "gioco casuale equo", in relazione con l'analisi dell'esito di "esperimenti aleatori". Purtroppo è ancora molto difficile realizzare efficaci itinerari didattici su ciò.

Indicazioni operative e loro presupposti teorici

Per i problemi (e i significati delle operazioni) si possono utilizzare le situazioni problematiche offerte dal lavoro di "Economia", dal lavoro di "Sole eTerra" e dalle normali situazioni problematiche inerenti la vita della classe (preventivi per acquisti o per la gita, distribuzione dei tempi tra le varie attività, ecc.).
Per il lavoro di "Economia" un certo numero di problemi è già proposto nelle schede; si possono aggiungere problemi legati ad un panificio "reale" che si è visitato. Un itinerario di lavoro completo e produttivo potrebbe essere il seguente:

si decide di valutare i costi ed i ricavi per il pane prodotto in un giorno feriale

a) i bambini devono fare un progetto per stabilire di quali dati hanno bisogno e quali calcoli effettuare con i dati , una volta che li avranno ottenuti (le due difficoltà maggiori per i bambini sono costituite dal tener conto del fatto che non tutto il pane prodotto viene in genere venduto, e dalla presa in considerazione dell'ammortamento e degli stipendi delle persone che lavorano nel panificio);
b) i progetti vengono confrontati; si decidono i dati da chiedere;
c) durante la visita al panificio vengono richiesti i dati previsti. Di solito alcuni dati non sono forniti nella forma richiesta dai bambini: ad esempio, il prezzo della farina spesso non viene dato in lire/kg, il prezzo del lievito viene dato in "dose per quintale", ecc.;
d) tornati in classe i bambini devono ristrutturare i loro progetti di calcolo in relazione ai dati realmente ottenuti e procedere al calcolo;
e) il lavoro si conclude con il confronto dei risultati e l'analisi dei procedimenti seguiti (anche per trovare gli errori che quasi inevitabilmente vengono commessi in problemi di questa complessità!).

Si può notare che in una attività di questo genere il bambino non solo risolve un problema, ma partecipa attivamente alla sua costruzione; e inoltre il lavoro di ristrutturazione dei calcoli in base ai dati disponibili è assai utile per rivedere ed approfondire i significati delle operazioni, le unità di misura di peso, ecc.

Se i bambini hanno difficoltà a svolgere autonomamentre alcune tappe di questo lavoro, è opportuno guidarli e poi proporre un'altra esperienza analoga riguardante (ad esempio) la produzione della focaccia, chiedendo ai bambini di procedere in modo più autonomo.

Per approfondire la tematica sulla didattica dei problemi, vedi Linee metodologiche, "problemi costruiti dall'interno", pag. P46 e seguenti.

Per la parte sulla suinicoltura si possono utilizzare i dati riportati sulle schede (o altri dati forniti durante l'eventuale visita ad un allevamento locale) per costruire problemi secondo le modalità viste sopra: ad esempio, si potrebbe valutare quanti maiali sono necessari in un anno per fornire il prosciutto consumato da dieci classi di 20 bambini che alla mensa mangiano prosciutto una volta alla settimana....Anche in questo caso importante è che i bambini si abituino gradualmente a muoversi con autonomia "all'interno" di problemi di una certa complessità (attività analoghe verranno continuate, con situazioni problematiche via via più impegnative, nella classe V con i "confronti di prestazioni tra uomini, macchine e animali" ).
Per quanto riguarda i problemi collegati con "Sole e Terra", oltre alla valutazioni di differenze e di durate e ai progetti di riduzione in scala sono interessanti i problemi che riguardano la divisione di angoli (significato di partizione della divisione, vedi Documentazione, pag.50), il dimensionamento delle tavolette e dei fogli su cui riportare le ombre (se si parte da grosse tavole di legno o da grossi fogli di carta), ecc. (vedi Linee metodologiche, pag.P47).

Per gli altri obiettivi di aritmetica (numeri decimali, calcolo mentale, tecniche di calcolo scritto delle operazioni) le indicazioni operative sono abbastanza scontate e in parte simili a quelle scritte per la classe III; in breve:
* il lavoro sui numeri decimali deve essere condotto tutto all'interno delle unità didattiche per mantenere il contatto tra posizione delle cifre nella scrittura decimale-posizionale e significato delle cifre; solo alcuni esercizi di calcolo in colonna di addizioni e sottrazioni dovrebbero essere svolti a lato delle unità didattiche;
* per il calcolo mentale è bene curare il confronto tra le strategie adottate dai bambini (chiedendo di esplicitarle dopo aver effettuato il calcolo). La modalità di lavoro dovrebbe essere inizialmente la stessa descritta per la III: il maestro scrive il calcolo da effettuare alla lavagna, i bambini registrano il risultato sulla lavagnetta personale, che viene subito capovolta; dopo qualche minuto il maestro chiede di vedere i risultati, i bambini alzano le lavagnette; il maestro chiede ad un bambino di esporre il suo ragionamento, e poi chiede se ci sono ragionamenti diversi ......Nel corso dell'anno è bene dettare il calcolo da svolgere senza scriverlo sulla lavagna (per obbligare i bambini a un calcolo mentale senza riferimenti scritti);
* per le tecniche di calcolo scritto delle operazioni, sono necessari esercizi "di addestramento" a lato delle unità didattiche; è bene di tanto in tanto obbligare i bambini a tornare al significato dei passaggi delle diverse procedure. Sono quindi consigliabili attività di questo tipo: spiegazione a parole di come si fa il calcolo di ....(singole sottrazioni, o moltiplicazioni, o divisioni) ; e, verso la fine dell'anno, descrizione a parole in generale (cioè non su casi numerici particolari) delle diverse tecniche.

Per la geometria, è bene curare che la costruzione dei concetti sia strettamente intrecciata con le situazioni problematiche di "Sole e Terra" . Dalle esigenze pratiche di disporre in modo convenzionale la tavoletta ed il chiodo ( così da poter confrontare i dati ricavati in ore e giorni diversi e con chiodi di lunghezza diversa) nasce il problema di come si fa a controllare se il chiodo è verticale e la tavoletta orizzontale...e la scoperta che se il chiodo è verticale la tavoletta è orizzontale se e solo se chiodo e tavoletta sono perpendicolari tra loro....ecc. ecc. (vedi Documentazione, pag. 23/24).

Dall'analisi dei disegni delle tavolette in posizioni diverse rispetto all'osservatore si può scoprire che la perpendicolarità in genere non si conserva nella visione prospettica; analogamente dall'analisi di quello che si vede (e di quello che si disegna) guardando ombre di pali si può scoprire che il parallelismo non si conserva nella visione prospettica e si può introdurre il concetto di direzione (come proprietà comune a un fascio di rette parallele - o come punto all'infinito verso cui sembrano convergere le ombre ad una certa ora). Ciò permette di introdurre in modo naturale i punti cardinali (facendo attenzione al fatto che mentre la direzione nord-sud è quella delle ombre al mezzogiorno solare, la direzione est-ovest non è - tranne che nei giorni degli equinozi- quella individuata dai punti in cui nasce e tramonta il sole!).

Analogamente il concetto di angolo va introdotto come "ampiezza di rotazione" delle ombre: è l'"invariante" (cioè l'unico elemento comune!) associato alla rotazione di un fascio di ombre parallele di oggetti di altezza e larghezza diversa. In questo modo si costruisce anche implicitamente il concetto di "rotazione". Una situazione problematica importante è quella del riporto in scala del ventaglio delle ombre da un foglio ad un altro (ad esempio, dal foglio utilizzato per il rilevamento ai quadernoni dei bambini): in particolare si pone il problema di come riportare le ampiezze degli angoli (vedi relazione di Ezio Scali, pag.P63); così nascono intrecci tra "angolo/rotazione" e "angolo/invariante di forma" e poi via via si può arrivare a introdurre la misura dell'angolo con il goniometro ....

E' noto che la padronanza dell'angolo "in orizzontale" non comporta automaticamente la padronanza degli angoli su piani non orizzontali. Anche per questo motivo (oltre che per precisare quantitativamente il confronto tra le posizioni del Sole in cielo alla stessa ora di giorni diversi dell'anno) è importante, a fine anno, il lavoro sull'altezza (angolare) del Sole, che è bene concludere con il supporto decisivo del sestante (o "goniometro verticale") (vedi Documentazione, problema di Stefano, pag. 48 e seguenti).

Situazioni problematiche di completamento di ventagli di ombre (come quelle di pag. 171) consentono di introdurre il concetto di simmetria rispetto ad una retta (non si tratta di esaminare una figura simmetrica, ma di costruire una figura individuando l'asse di simmetria, rendendosi conto della conservazione delle lunghezze e del ribaltamento rispetto all'asse di simmetria, ecc. ). Se si effettua il lavoro su un ventaglio parzialmente rilevato in classe, si potrà anche scoprire che l'asse di simmetria corrisponde al mezzogiorno solare (che nella maggior parte delle località italiane non coincide con le ore 12, e inoltre varia nel corso dell'anno).
Sempre per quanto riguarda il lavoro geometrico connesso allo sviluppo di Sole e Terra, è opportuno sottolineare l'importanza delle verbalizzazioni delle costruzioni geometriche e delle attività di misura (costruzione di una retta perpendicolare ad un'altra retta e passante per un punto assegnato, costruzione di una retta parallela ad un'altra e passante per un punto assegnato, misura di un angolo disegnato sul foglio, costruzione di un angolo di misura data).

Attraverso le verbalizzazioni (seguite da confronti con la realtà, e da confronti tra coppie di testi, e da eventuali riflessioni linguistiche) si possono conseguire contemporaneamente tre obiettivi importanti: "stabilizzare" e rendere consapevoli le attività ed i concetti geometrici implicitati; potenziare i mezzi linguistici dei bambini; svolgere attività di notevole interesse logico ed informatico (ad esempio scoprendo la necessità di esprimere, nella verbalizzazione della misura di un angolo disegnato sul foglio, l'alternativa "se i lati dell'angolo sono più corti del raggio del goniometro....") (vedi Documentazione, pagg. 51/52).

Per le misure di lunghezza e le riduzioni in scala le attività sulle ombre (misure di ombre, riduzioni in scala, costruzione di grafici ...) e le attività sulle carte geografiche sono più che sufficienti per consolidare e sviluppare gli apprendimenti realizzati in II ed in III.

Per le aree si tratta di arrivare ad una prima messa a fuoco del concetto (e della sua distinzione da "perimetro"), grosso modo la parte coperta dalle prime 5-6 schede dello schedario a pag. 222 (il seguito va svolto in V). E' anche opportuno sfruttare le occasioni di costruzione concettuale offerte dalle unità didattiche.

Per la statistica si consiglia di usare le situazioni che spontaneamente si presentano in "Sole e Terra" e in "Economia" per abituare i bambini ad una maggiore autonomia nella lettura e nella costruzione di tabelle e soprattutto nella costruzione di grafici. E' importante che alla fine della IV i bambini comincino a individuare autonomamente il dato più grande e il dato più piccolo da riportare sulle ordinate e l'ampiezza del periodo da riportare sulle ascisse, e conseguentemente riescano a "dimensionare" in modo appropriato le unità di misura sulle ascisse e sulle ordinate . Si tratta di una attività complessa in cui intervengono varie abilità importanti: confronto e controllo degli ordini di grandezza dei numeri, padronanza delle misure di lunghezza, coordinamento di due tipi di informazioni - relative alle ascisse ed alle ordinate.

Per la probabilità le esperienze finora svolte ripropongono anche in IV attività che sono già state descritte per la classe II. Inoltre, sono state svolte attività riguardanti il confronto tra previsioni ricavate dall'analisi di dati relativi al passato (frequenza di giorni piovosi nel mese di aprile...) e effettivo comportamento meteorologico del mese di aprile di questo anno, interrogandosi sulle differenze riscontrate, con interessanti discussioni (è piovuto molto di più perchè le stagioni stanno cambiando .... oppure : può benissimo succedere, dal passato ricaviamo solo previsioni in media ....) e successiva scoperta che effettivamente già altre volte in passato il mese di aprile aveva avuto un comportamento simile a quello di quest'anno ...

Sono state anche condotte analisi sulle estrazioni a sorte per gli esercizi di calcolo a mente: su un tabellone via via vengono registrati i nomi dei bambini estratti a sorte per rispondere alla domanda su "quanto fa ....". Si nota, al passare dei giorni (una trentina di estrazioni al giorno), che inizialmente la distribuzione delle chiamate a sorte è molto irregolare (alcuni bambini sono già stati estratti a sorte due-tre volte, quando altri non sono stati ancora estratti nemmeno una volta!), poi a poco a poco le righe delle crocette tendono ad avere una lunghezza simile (ad esempio in una classe di 16 bambini dopo 50 giorni di estrazioni, cioè dopo 1500 estrazioni, i bambini sono tutti stati estratti un numero di volte compreso tra 90 e 110, cioè vicino alla "probabilità teorica" 1/15).

Una variante di questa attività può riguardare l'estrazione da un sacchetto lungo e stretto senza rimescolare (e la scoperta che in questo modo i bambini non hanno tutti la stessa probabilità di uscire, puntualmente confermata da quello che succede sul tabellone che registra le estrazioni!)